16. НОМОГРАММА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЗАПАСА УСТОЙЧИВОСТИ, ПОКАЗАТЕЛЕЙ КАЧЕСТВА И КОЭФФИЦИЕНТОВ ОШИБОК ПО ВИДУ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ АМПЛИТУДНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Логарифмические амплитудные характеристики часто можно представить состоящими из следующих основных частей (см. рис. XVI. 25): среднечастотной асимптоты с наклоном пересекающей ось частот в точке, соответствующей частоте среза низкочастотной асимптоты АВ, имеющей наклон где — порядок астатизма; отрезка прямой с наклоном соединяющего низкочастотную асимптоту с отрезком прямой, пересекающим ось частот; отрезка прямой с наклоном определяющим вид желаемой логарифмической амплитудной характеристики при повышенных частотах, и, наконец, высокочастотной части, которая мало влияет на качество системы и поэтому в первом приближении может не приниматься во внимание [11, 12].

Рис. XVI.25. Типовые логарифмические амплитудные характеристики

Учитывая сказанное, желаемые логарифмические амплитудные характеристики можно подразделить на ряд основных типов и для

логарифмической амплитудной характеристики каждого типа составить специальные номограммы, аналогичные приводимым ниже (см. рис. XVI. 26 - XVI. 29) (см. вклейки). Номограммы составлены для минимально-фазовых систем и позволяют привести в непосредственную связь основные параметры логарифмической амплитудной характеристики с интересующими нас показателями качества. Эти номограммы представляют существенный интерес не только для анализа, но и для синтеза корректирующих устройств.

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением лишь типовых логарифмических амплитудных характеристик астатических систем первого порядка, имея в виду, что приводимые ниже результаты, как это показывается далее, в ряде случаев с известной степенью приближения могут быть применены к статическим и к астатическим системам второго порядка.

Итак, ограничиваясь астатическими системами первого порядка, рассмотрим четыре основных типа логарифмических амплитудных характеристик (рис. XVI. 25), имеющих низкочастотные и среднечастотные асимптоты с одним и тем же наклоном -20 дб/дек и отличающихся друг от друга лишь наклоном в интервале частот (отрезок ВС) и в интервале частот (отрезок DE).

Если предположить, что типовые логарифмические амплитудные характеристики на рис. XVI. 25 принадлежат минимально-фазовым системам, то легко найти соответствующие им передаточные функции Классификация типов логарифмических амплитудных характеристик по их наклонам в указанных интервалах приведена в табл. XVI. 2.

Результаты, полученные для типовых логарифмических амплитудных характеристик, приведенных в табл. XVI. 2, могут быть использованы и для ряда других типовых логарифмических амплитудных характеристик, имеющих передаточные функции, отличающиеся от приведенных в таблице.

Каждая из типовых логарифмических амплитудных характеристик (табл. XVI. 2) полностью определяется четырьмя параметрами: передаточным коэффициентом или добротностью К и сопрягающими частотами

Однако удобнее пользоваться совокупностью следующих четырех параметров: ординатой логарифмических амплитудных характеристик при частотой среза сос и относительными сопрягающими частотами и Номограммы на рис. XVI.26-29 (см. вклейки) позволяют определять интересующие показатели качества системы непосредственно по виду типовых логарифмических амплитудных характеристик, заданных своими параметрами

Таблица XVI.2 (см. скан) Передаточные функции для типовых логарифмических характеристик

В соответствии с четырьмя передаточными функциями, приведенными в табл. XVI. 2, мы рассмотрим номограммы: I—IV [номер номограммы соответствует типу логарифмической амплитудной характеристики в табл. XVI. 2 (рис. XVI. 26 - XVI. 29) (см. вклейки)].

В центральной части каждой номограммы изображена область, внутри которой обычно располагаются логарифмические амплитудные характеристики рассматриваемого типа. По оси абсцисс отложены относительные частоты , а по оси ординат — значения модуля в дб. Частоте среза сос на оси абсцисс соответствует точке

Цифры в прямоугольниках справа от наклонной прямой, идущей вверх от точки представляют значения ординат изображенных на номограмме горизонтальных отрезков. Цифры в кружках в конце прямых в правой части номограммы обозначают значения относительных сопрягающих частот соответствующих этим прямым. Кривые, расположенные в верхней и нижней частях номограммы, представляют зависимости рассматриваемых пяти динамических показателей, или величин , от

относительной сопрягающей частоты при различных фиксированных значениях где перерегулирование; время переходного процесса; у — запас устойчивости по фазе, а так называемые коэффициенты ошибки, определяющие точность системы при медленно изменяющихся управляющих воздействиях (см. гл. VIII)

Рис. XVI.30. Пример определения показателей качества, точности и запаса устойчивости при помощи номограмм

В верхней части номограммы помещены кривые с указанными зависимостями для значений равных 70; 50 и 30 дб. В нижней части номограммы построены кривые, определяющие те же зависимости для значений равных 80; 60; 40 и 20 дб. Цифры в кружках, которыми отмечены кривые, обозначают соответствующие им значения относительной сопрягающей частоты

Способ применения номограммы для определения перечисленных динамических показателей, соответствующих какой-либо конкретной логарифмической амплитудной характеристике, относящейся к одному из четырех перечисленных типов, заключается в следующем:

1) определяем, пользуясь табл. XVI. 2, тип, к которому относится рассматриваемая логарифмическая амплитудная характеристика, и выбираем соответствующую номограмму;

2) находим параметры логарифмической амплитудной характеристики и определяем интересующие нас динамические показатели при помощи кривых, приведенных на номограмме.

Рассмотрим конкретный пример (рис. XVI. 30). Параметры логарифмической амплитудной характеристики на рис. XVI. 30,

относящейся ко II типу, равны: Так как то выбираем на номограмме II те из кривых, которые отмечены сверху цифрой Затем отмечаем на оси точку 0,04 и проводим через нее прямую до пересечения с кривыми, отмеченными цифрами в кружке, равными заданному значению Точки пересечения определяют интересующие нас величины. В данном случае . В результате получаем искомые значения динамических показателей. Так, например, в рассматриваемом случае (рис. XVI. 30) имеем

Если значения параметров интересующей нас логарифмической амплитудной характеристики отличаются от имеющихся на номограмме, то динамические показатели могут быть определены по имеющимся на номограмме кривым при помощи интерполяции.

Рассмотрим способ построения номограмм. Как мы видели, номограммы содержат кривые для определения следующих пяти динамических показателей:

Кривые для нахождения первых двух величини атах были получены [11] при помощи вычисления корней и построения переходных процессов для различных сочетаний параметров, определяющих типовые логарифмические амплитудные характеристики, и, наконец, непосредственного измерения по этим кривым указанных величин.

Для построения кривых, определяющих остальные динамические показатели, легко вывести общие формулы. Рассмотрим, например, выражение для избытка фазы у при в случае передаточной функции (XVI. 135), оно, очевидно, имеет вид

Исключая из этого уравнения относительную частоту получим

где — ордината характеристики при

Следовательно,

Принимая во внимание выражение (XVI. 140), вместо (XVI. 139) можно написать

Формулы для вычисления запасов устойчивости по фазе у для остальных типов логарифмической амплитудной характеристики могут быть получены аналогичным путем [11]. Формулы для вычисления коэффициентов ошибки приведены в столбцах табл. XVI. 3.

Подобные номограммы могут быть построены не только для систем с астатизмом первого порядка, но и для статических систем, а также для систем с порядком астатизма выше первого. Однако если интерес представляют лишь величина перерегулирования и время переходного процесса, то приведенные номограммы часто оказываются применимыми независимо от порядка астатизма. Действительно, если две логарифмические амплитудные характеристики, соответствующие минимально-фазовым системам, отличаются друг от друга лишь при достаточно малых значениях со, при которых то им соответствуют весьма близкие вещественные частотные характеристики, а следовательно, и переходные процессы.

Так, например, если логарифмические амплитудные характеристики статической системы и систем с астатизмом первого и второго порядков совпадают при тех , при которых дб и различаются лишь при тех значениях , при которых

то вещественные характеристики этих систем в замкнутом состоянии отличаются от вещественной характеристики системы с астатизмом первого порядка не более чем на 2,5%.

Применение номограммы будет давать для статических систем, вообще говоря, несколько завышенные, а для систем с астатизмом второго порядка несколько заниженные оценки величины перерегулирования и времени переходного процесса по сравнению с действительными их значениями. Для систем с астатизмом второго порядка, имеющих низкочастотную асимптоту с наклоном — переходящую в асимптоту с наклоном — следует пользоваться номограммами I или III и применят кривые соответствующие значению принимая за то значение при котором

Часто оказывается возможным применять номограммы не только в случае передаточных функций вида (XVI. 135) - (XVI. 138), имеющих кратные полюса и нули, но и в случае передаточных функций, не имеющих кратных полюсов и нулей. Однако необходимо, чтобы порядок числителя и порядок знаменателей рассматриваемой

(кликните для просмотра скана)

и соответствующей типовой передаточной функции были одинаковы. Так, например, номограммой II можно пользоваться для систем с передаточными функциями вида

номограммой III - для систем с передаточными функциями вида

номограммой IV — для систем с передаточными функциями вида

Правило перехода от передаточных функций (XVI. 142) - (XVI. 144) к передаточным функциям (XVI. 136) - (XVI. 138) заключается в том, что две соседние постоянные времени заменяются двумя одинаковыми постоянными времени, определяемыми по формуле

Ошибка в логарифмической амплитудной характеристике, получающаяся при замене двух соседних неодинаковых постоянных времени одной постоянной при не превышает 2 дб.

Номограммами можно также пользоваться в тех случаях, когда вместо двух апериодических звеньев с одинаковыми постоянными времени имеется одно колебательное звено. Очевидно, что ошибка при этом будет уменьшаться с убыванием коэффициента затухания (см. гл. VIII).

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)