3. ИМПУЛЬСНАЯ ПЕРЕХОДНАЯ ФУНКЦИЯ НЕПРЕРЫВНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ

Линейная система с постоянными параметрами, рассматриваемая здесь как динамический элемент системы регулирования, описывается системой линейных дифференциальных уравнений (IV.60), (IV.61), которая, если представляет интерес только одна из переменных, например может быть сведена к одному уравнению вида

В соответствии с общим определением импульсная переходная функция рассматриваемой системы является решением уравнения (VII. 10) при нулевых начальных условиях для случая воздействия в виде дельта-функции. Таким образом, импульсная переходная функция представляет собой решение уравнения

Ввиду стационарности системы импульсная переходная функция не зависит от момента приложения воздействия, а в силу линейности — линейно зависит от амплитуды а дельта-функции, т. е.

где через обозначена единичная импульсная переходная функция, соответствующая воздействию в виде единичной дельтафункции, т. е. воздействию (VI 1.2) при

Принимая за начало отсчета момент времени или, другими словами, вводя новую переменную легко видеть, что единичная или просто импульсная переходная функция линейной стационарной системы является функцией только одной переменной а не трех переменных и а, как это имело место в общем случае.

Импульсная переходная функция удовлетворяет следующим двум основным условиям:

Условие (VI 1.14) называется условием физической осуществимости, или условием причинности, и следует из того очевидного обстоятельства, что в любой реальной динамической системе эффект, т. е. переходный процесс не может возникнуть раньше причины, его вызвавшей [дельта-функции приложенной в момент времени Условие (VI 1.15) представляет собой, по существу, условие устойчивости.

Весьма важным свойством линейных систем является то, что для них справедлив принцип суперпозиции, который можно сформулировать следующим образом. Эффект, вызываемый суммой нескольких воздействий, равен сумме эффектов каждого из воздействий в отдельности.

Рис. VI 1.3. К пояснению понятия «памяти» динамического элемента

Пользуясь этим принципом, можно найти решение уравнения (VII. 10) при любом воздействии если известно его решение при воздействии в виде дельта-функции, т. е. импульсная переходная функция. Действительно, представляя произвольное воздействие в виде бесконечной суммы воздействий основываясь на принципе суперпозиции и учитывая условие (VII. 14) физической осуществимости, получим

или

Выражение (VII.16) или (VII.17) показывает, что импульсная переходная функция стационарной системы представляет собой ее универсальную динамическую характеристику в том смысле, что она позволяет найти переходный процесс, вызываемый в системе любым воздействием

Вид импульсной переходной функции позволяет судить о том, насколько сильно значения воздействия в моменты, предшествующие моменту влияют на переходный процесс в рассматриваемый момент времени Чем «шире» функция т. е. чем больше интервал времени, на котором она отличается от нуля, тем более отдаленные значения функции принимаются во внимание при вычислении по формуле (VI 1.16), рис. VI 1.3. Поэтому интервал времени Т часто называют «памятью» системы.

Память системы определяет условия, при которых возможно качественное воспроизведение ею входных воздействий. Очевидно, что динамическая система будет хорошо воспроизводить лишь такое воздействие, которое мало изменяется в пределах интервала времени определяющего память системы. И наоборот, она будет значительно искажать воздействия которые существенно изменяются в течение времени Т.