ГЛАВА XV. ЧАСТОТНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
Математической основой частотного метода анализа систем автоматического регулирования является преобразование Фурье. Оно позволяет получить на основании дифференциальных уравнений с учетом начальных условий и приложенных к системе воздействий или с использованием экспериментальных данных некоторые вещественные функции, называемые обобщенными частотными характеристиками.
Обобщенная частотная характеристика переходного процесса, сводящаяся в простейшем случае к обычным частотным характеристикам системы, так же как и преобразование Лапласа для искомого переходного процесса, полностью его определяет.
Одно из основных различий между прямым методом анализа переходных процессов, основанным на преобразовании Лапласа, и частотным методом анализа переходных процессов заключается в том, что первый является аналитическим, требующим вычисления корней характеристического уравнения системы, а второй (так же как и частотный метод анализа устойчивости) — графоаналитическим, не требующим вычисления корней [1—4, 6].
При использовании частотного метода анализа переходных процессов исходными данными могут быть частотные характеристики, которые определяются из эксперимента, без использования дифференциальных уравнений всей системы в целом или отдельных ее элементов.
Данный метод позволяет:
а) производить полный анализ динамики и решать многие вопросы синтеза;
б) учитывать своеобразие систем автоматического регулирования, заключающееся в том, что их анализ в разомкнутом состоянии обычно прсще, чем в замкнутом;
в) осуществлять анализ устойчивости, качества и переходных процессов в системах любого порядка как одноконтурных, так и многоконтурных, содержащих не только сосредоточенные, ко и распределенные параметры;
г) решать вопросы анализа и синтеза систем при непрерывно изменяющихся воздействиях (см, в книге 2 гл. I, VII и VIII).
Применение частотного метода анализа не ограничивается системами регулирования.
Следует также подчеркнуть, что хотя общие частотные представления заимствованы теорией регулирования из теории электрических цепей, однако их развитие в теории регулирования пошло своим собственным путем. Это объясняется тем, что в теории электрических цепей вплоть до недавнего времени частотными представлениями пользовались в основном лишь для анализа установившихся, а не переходных режимов. Кроме того, постановка задач анализа и синтеза в теории регулирования существенно отличается от постановки аналогичных задач в теории электрических цепей.
Одной из характерных особенностей частотного метода анализа переходных процессов и анализа качества систем автоматического регулирования является то, что он, в отличие от методов расчета электрических цепей, основывается на рассмотрении главным образом вещественной, а не амплитудной и фазовой частотных характеристик.
Использование обычных методов расчета электрических цепей, основанных на амплитудной и фазовой частотных характеристиках, а не вещественной и мнимой, заключается в том, что первые имеют более простой физический смысл и обычно легко могут быть определены экспериментально. Вследствие этого анализ установившихся процессов, несомненно, удобнее производить при помощи амплитудной и фазовой частотных характеристик, чем при помощи вещественной и мнимой. Однако при анализе переходных процессов, основанном на первой паре характеристик, мы сталкиваемся с известными трудностями. Эти трудности заключаются в том, что оказывается невозможным в общем случае представить в достаточно удобной для анализа форме связь между переходным процессом и одной из частотных характеристик, амплитудной или фазовой, а необходимо одновременное введение в рассмотрение обеих характеристик. В то же время, если пользоваться вещественной и мнимой частотными характеристиками, то переходный процесс можно представить только через одну из них.
Действительно, рассмотрим, например, выражение для импульсной переходной функции (см. гл. VIII) в виде интеграла Фурье:
где
Интеграл (XV. 1) легко преобразовать к следующей вещественной форме:
Далее, если положить, что
то формулу (XV. 1) можно записать в следующем виде:
или
Мы видим, что в выражение (XV.2) входят одновременно как амплитудная, так и фазовая частотные характеристики, а каждое из выражений (XV.3) и (XV.4) содержит только одну частотную характеристику (вещественную или мнимую) и является более удобным для анализа, чем выражение (XV.2). При исследовании устойчивости систем автоматического регулирования обычно исходят из их частотных характеристик в разомкнутом состоянии. Вследствие этого оказывается удобным при полном анализе динамических свойств систем автоматического регулирования в виде исходных данных использовать амплитудную и фазовую частотные характеристики разомкнутой системы, а для анализа переходных процессов, качества регулирования и проверки результатов расчетов пользоваться вещественной частотной характеристикой замкнутой системы.
