5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА

Характеристическое уравнение замкнутой системы устойчиво при , если все начальные точки [корни ] находятся в левой полуплоскости. Предельные точки [корни ] могут лежать на всей плоскости При изменении коэффициента усиления в пределах система (XVII. 10) может стать неустойчивой: а) апериодически неустойчивой — при выходе в правую полуплоскость первого действительного корня; б) колебательно неустойчивой — при выходе в правую полуплоскость первой пары комплексно-сопряженных корней, идущих к правым асимптотам или правым предельным точкам. В обоих случаях выходящие вправо корни пересекают мнимую ось. Как мы видим, это имеет место при критических значениях параметра соответствующих критическим частотам со. Эти критические значения могут быть вычислены аналитически по формулам (XVI 1.39) и (XVI 1.40) или графически, пользуясь основным фазовым уравнением (XVI 1.21) для точек, находящихся на мнимой оси, и формулой (XVII.23) для свободного параметра.

Поясним сказанное выше на следующем примере. Для этого рассмотрим характеристическое уравнение системы

Построив для данной системы траектории корней (рис. XVI 1.5), найдем критические значения Расположив критические значения в порядке возрастания, получим

С помощью этого ряда можно получить области, совпадающие с Д-разбиением Неймарка. Действительно, в интервалах, которые приведены ниже, имеем:

от до два комплексно-сопряженных корня справа, дающих потом два действительных корня, идущих к предельной точке

от — 1,3 до 0,5 — область устойчивости; от — 0,5 до 49,3 — один действительный корень справа; от 49,3 до один действительный корень справа и два комплексносопряженных корня, идущих к пересекающим мнимую ось асимптотам.

Заметим, что возможны системы, обладающие двумя и более раздельными областями устойчивости.

Так, например, для характеристического уравнения

имеем траектории, показанные на рис. XVII.6. При - две области устойчивости:

первая для интервала где и вторая для интервала , где

Рис. XVII.5. Траектории корней для характеристического уравнения

Рис. XVII.6. Корневой годограф для характеристического уравнения

Итак, построенные траектории корней полностью определяют все области устойчивости системы.

Особый интерес для практики представляют системы, область устойчивости которых включает интервал . К этим системам относятся все системы классов [1; 0] и [2; 0] и системы класса для которых если все основные точки и центр асимптот лежат в левой полуплоскости и траектории, идущие из начальных точек в предельные, не выходят в правую полуплоскость.

Подобный анализ устойчивости может быть произведен по корневому годографу для любой линейной системы, зависящей от одного параметра.

Кроме рассмотренного основного случая устойчивой при системы, все начальные точки которой лежат слева, наличие области устойчивости возможно и в ряде особых случаев, когда часть

начальных точек лежит на мнимой оси. Особый интерес представляют астатические системы, одна из начальных точек которых всегда лежит в начале координат. Очевидно, такая система при будет иметь конечную величину области устойчивости, если справа от нулевой начальной точки расположена четная траектория, так как в этом случае при увеличивающемся от нуля, нулевой корень смещается влево (см. рис. XVI 1.4).

Наличие конечной области устойчивости возможно и в других особых случаях, а именно, при двойной начальной точке в начале координат и при паре комплексно-сопряженных начальных точек на мнимой оси. Убедиться в наличии области устойчивости в этих случаях можно, построив годограф для .