Главная > Теория автоматического регулирования. Книга 1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

2. МЕТОДИКА ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ОЦЕНОК

Интегральные квадратичные оценки используются как для выбора параметров линейных систем с заданной структурой, так и при решении более общей задачи синтеза, т. е. определении структуры и параметров управляющей системы на основе некоторых критериев оптимальности.

Интегральные оценки переходных процессов и выбор параметров систем с заданной структурой. Постановка задачи в этом случае сводится к следующему. Структура линейной системы, а стало быть и вид ее передаточных функций, заданы. Возмущающие силы детерминированы и, как правило, приводятся к ступенчатым или импульсным воздействиям. Некоторое число параметров (коэффициентов) системы допускают изменение (варьируемые параметры), а остальные параметры заданы постоянными. Необходимо указать значения варьируемых параметров, при которых обеспечивается оптимальный переходный процесс в смысле минимума некоторой интегральной квадратичной оценки.

Решение задачи начинается с выбора вида интегральной квадратичной оценки, минимизация которой отвечала бы практическим представлениям или условиям оптимальности. При этом рассматривают реакцию системы на ступенчатое задающее воздействие, т. е. определяют переходную функцию

Тогда минимизация оценки

означает, что в классе решений заданного (с точностью до варьируемых параметров) дифференциального уравнения системы необходимо найти то, которое наибрлее приближается к ступенчатой функции в смысле интегрального квадратичного отклонения.

Функция непрерывна [при ; см. (XIX.18)]. Приближение непрерывной функции к разрывной ступенчатой функции обычно неравномерное и иногда сопровождается значительными выбросами (перерегулирование, см., например, [17]). Минимизация при тех же условиях оценки

где — некоторая заранее выбираемая величина, означает приближение переходной функции системы к экспоненте с постоянной времени т.

Действительно,

[полагаем

Таким образом, наименьшее [в классе произвольных функций ] получается тогда, когда

это уравнение экспоненты с постоянной времени т.

Аналогично, интегральная квадратичная оценка более общего вида

при начальных условиях

и

может быть представлена в форме

где

введено для симметрии формул.

Итак, минимизация оценки означает приближение переходной функции к решению дифференциального уравнения

при начальных условиях (XIX.32).

Соображения о необходимом быстродействии системы позволяют задать значения параметров а значит и хъхъ

Следует, однако, иметь ввиду, что вычисление оценок несколько сложнее, чем оценки по формуле (XIХ.19). С другой стороны, у систем, где передаточная функция имеет нули [т. е. в формуле (XIX. 18) не равно нулю], опасность получения значительного перерегулирования при выборе параметров из условия минимума функции невелика. Поэтому чаще всего все же используется оценка .

Вторым после выбора вида критерия этапом решения задачи является вычисление оценки. При аналитическом решении задачи интегральная квадратичная оценка определяется по формулам, подробно рассмотренным выше. Следующим шагом является минимизация оценки, т. е. определение значений параметров или соотношений между параметрами, при которых имеет место минимум выбранной оценки.

Ввиду того что интегральная квадратичная оценка, как правило, является нелинейной функцией варьируемых параметров, а на сами варьируемые параметры в большинстве реальных систем накладываются ограничения, данная задача относится к так называемому нелинейному программированию [20]. Однако во многих случаях интегральная квадратичная оценка имеет единственный абсолютный минимум по варьируемым параметрам, лежащий в разрешенной области изменения этих параметров. В этих случаях, в принципе, решение может быть получено классическим методом, т. е. приравниванием нулю частных производных по варьируемым параметрам.

Для простых систем удается в аналитической форме представить соотношения между параметрами, соответствующие минимуму интегральной квадратичной оценки. Для сложных систем используются численные или графические методы. Заключительным этапом методики, носящим характер проверки, является построение переходного процесса при выбранных значениях параметров. Это построение проводится любым из известных способов.

В случае, если переходный процесс оказывается неудовлетворительным по какому-либо параметру, вносятся коррективы в исходную интегральную оценку и решение задачи повторяется.

Для иллюстрации описанной методики рассмотрим следующий пример. На рис. приведена схема автопотенциометра.

В этом автопотенциометре разность измеряемого напряжения и и напряжения, снимаемого с потенциометра 5, подается через дифференцирующий контур на гальванометр Гальванометр снабжен фотоэлектрическим датчиком 2, посылающим сигнал в электронный усилитель 3.

Рис. XIХ.1. Схема автопотенциометра

К выходу усилителя подключена управляющая обмотка двухфазного асинхронного исполнительного электродвигателя 4. Последний через редуктор связан со щеткой потенциометра 5 и при работе системы устанавливает щетку в положение, при котором снимаемое напряжение равно подведенному напряжению и.

В линейном приближении система при обычных предположениях описывается следующими уравнениями [8]:

где — изображения входного напряжения и напряжения, снимаемого с потенциометра, соответственно;

— изображение тока гальванометра;

— изображение угла поворота рамки гальванометра;

— электромеханическая постоянная электродвигателя;

собственная частота гальванометра;

— степень затухания гальванометра;

— сопротивление цепи гальванометра;

R и С — сопротивление и емкость дифференцирующего контура;

К — коэффициенты передачи (усиления).

Если пренебрежимо мало, то изображение выходной величины при ступенчатом изменении входной равно

где при

Формула (XIX. 19) дает

На рис. XIX.2 представлена зависимость интегральной квадратичной оценки от коэффициента усиления разомкнутой системы и порции сигнала по производной Зависимость выражена кривыми равных значений

Эти кривые показывают, что минимально при сек.

При этих значениях параметров равно

На рис. XIX.3 приведена кривая переходного процесса, соответствующего выбранным значениям параметров. Видно, что минимизация дает здесь удовлетворительное качество переходного процесса.

Следует, однако, отметить, что аналитическое решение задачи целесообразно только для простых систем, порядок дифференциальных уравнений которых не превышает 4—5. Для определения интегральных квадратичных оценок весовых функций сложных систем в настоящее время чаще всего используются аналоговые вычислительные машины. Соответствующая методика сводится к следующему.

На аналоговой машине набирается уравнения рассчитываемой системы. Кроме этого, используют блок квадратора (блок,

возводящий входную величину в квадрат) и интегрирующий блок. Интересующая нас координата подается на вход квадратора, а выходная величина квадратора поступает на интегрирующий блок. На один (при определении оценки или два (при определении оценки входа модели подаются короткие импульсы единичной площади (-импульсы).

Выходная величина интегрирующего блока, включаемого одновременно с подачей -импульсов, равна интегралу от квадрата и по истечении времени переходных процессов практически равна

При определении оценки проводится один опыт, а именно подается один -импульс на вход.

Рис. XIХ.2. Зависимость интегральной квадратической оценки от передаточного коэффициента разомкнутой системы К и постоянной времени дифференцирующего контура

Рис. XIX.3. Кривая переходного процесса

При этом сразу определяется , где — импульсная переходная (весовая) функция. При нахождении проводится два опыта. В первом опыте на входы одновременно подаются положительные -импульсы. При этом определяется величина

Во втором опыте на те же входы подаются -импульсы разного знака. На выходе интегрирующего блока выделяется величина Разность величин, полученных в этих двух опытах, дает

Время определения одной оценки лишь вдвое (при ) превышает время переходных процессов в модели (при моделировании в сокращенном масштабе времени это время может быть существенно меньше времени регулирования в реальной системе). Это позволяет определять за сравнительно короткое время для многих значений варьируемых параметров и находить оптимальные величины последних.

На данной основе возможно также автоматическое определение оптимальных значений. Поиск оптимальных значений варьируемых параметров возлагается при этом на оптимизатор непрерывного или дискретного действия [10], [18].

Интегральные квадратичные критерии и синтез систем с произвольной структурой. В рассмотренных выше задачах структуры как управляемого объекта, так и управляющей системы считались заданными. Интегральные оценки служили лишь для выбора варьируемых параметров системы.

В современной теории оптимального управления интегральные критерии часто используются при отыскании оптимальных алгоритмов управления заранее неизвестной структуры [11], [19], [15].

В этих задачах минимизируемый функционал (интегральная оценка) не выражается непосредственно через параметры системы, так как даже состав этих параметров до решения задачи остается, по существу, неизвестным. В этих задачах ищется такой закон, или алгоритм, управления, который непосредственно минимизирует данный функционал—интегральную оценку. При этом, однако, в общем случае учитываются различные ограничения, накладываемые на алгоритм управления и управляемый объект.

При использовании вариационных методов задача формулируется как нахождение управления экстремали, минимизирующей данный функционал-интегральную оценку. Заметим, что для одного частного случая решение подобной задачи приведено выше в виде уравнения (XIX.34), т. е. при отсутствии ограничений в этом выражении получим уравнение экстремали, которое минимизирует функционал

Несомненно, что от вида функционала (интегрального критерия) многое зависит при отыскании оптимального управления. Однако главное содержание теории оптимального управления выходит далеко за пределы круга вопросов, именуемых интегральными критериями и оценками качества. Поэтому оно освещается в других разделах.

1
Оглавление
email@scask.ru