2. МЕТОДИКА ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ОЦЕНОК
Интегральные квадратичные оценки используются как для выбора параметров линейных систем с заданной структурой, так и при решении более общей задачи синтеза, т. е. определении структуры и параметров управляющей системы на основе некоторых критериев оптимальности.
Интегральные оценки переходных процессов и выбор параметров систем с заданной структурой. Постановка задачи в этом случае сводится к следующему. Структура линейной системы, а стало быть и вид ее передаточных функций, заданы. Возмущающие силы детерминированы и, как правило, приводятся к ступенчатым или импульсным воздействиям. Некоторое число параметров (коэффициентов) системы допускают изменение (варьируемые параметры), а остальные параметры заданы постоянными. Необходимо указать значения варьируемых параметров, при которых обеспечивается оптимальный переходный процесс в смысле минимума некоторой интегральной квадратичной оценки.
Решение задачи начинается с выбора вида интегральной квадратичной оценки, минимизация которой отвечала бы практическим представлениям или условиям оптимальности. При этом рассматривают реакцию системы на ступенчатое задающее воздействие, т. е. определяют переходную функцию
Тогда минимизация оценки
означает, что в классе решений заданного (с точностью до варьируемых параметров) дифференциального уравнения системы необходимо найти то, которое наибрлее приближается к ступенчатой функции в смысле интегрального квадратичного отклонения.
Функция
непрерывна [при
; см. (XIX.18)]. Приближение непрерывной функции к разрывной ступенчатой функции обычно неравномерное и иногда сопровождается значительными выбросами (перерегулирование, см., например, [17]). Минимизация при тех же условиях оценки
где
— некоторая заранее выбираемая величина, означает приближение переходной функции системы к экспоненте с постоянной времени т.
Действительно,
[полагаем
Таким образом, наименьшее
[в классе произвольных функций
] получается тогда, когда
это уравнение экспоненты с постоянной времени т.
Аналогично, интегральная квадратичная оценка более общего вида
при начальных условиях
и
может быть представлена в форме
где
введено для симметрии формул.
Итак, минимизация оценки
означает приближение переходной функции к решению дифференциального уравнения
при начальных условиях (XIX.32).
Соображения о необходимом быстродействии системы позволяют задать значения параметров
а значит и хъхъ
Следует, однако, иметь ввиду, что вычисление оценок
несколько сложнее, чем оценки по формуле (XIХ.19). С другой стороны, у систем, где передаточная функция имеет нули [т. е.
в формуле (XIX. 18) не равно нулю], опасность получения значительного перерегулирования при выборе параметров из условия минимума функции
невелика. Поэтому чаще всего все же используется оценка
.
Вторым после выбора вида критерия этапом решения задачи является вычисление оценки. При аналитическом решении задачи интегральная квадратичная оценка определяется по формулам, подробно рассмотренным выше. Следующим шагом является минимизация оценки, т. е. определение значений параметров или соотношений между параметрами, при которых имеет место минимум выбранной оценки.
Ввиду того что интегральная квадратичная оценка, как правило, является нелинейной функцией варьируемых параметров, а на сами варьируемые параметры в большинстве реальных систем накладываются ограничения, данная задача относится к так называемому нелинейному программированию [20]. Однако во многих случаях интегральная квадратичная оценка имеет единственный абсолютный минимум по варьируемым параметрам, лежащий в разрешенной области изменения этих параметров. В этих случаях, в принципе, решение может быть получено классическим методом, т. е. приравниванием нулю частных производных по варьируемым параметрам.
Для простых систем удается в аналитической форме представить соотношения между параметрами, соответствующие минимуму интегральной квадратичной оценки. Для сложных систем используются численные или графические методы. Заключительным этапом методики, носящим характер проверки, является построение переходного процесса при выбранных значениях параметров. Это построение проводится любым из известных способов.
В случае, если переходный процесс оказывается неудовлетворительным по какому-либо параметру, вносятся коррективы в исходную интегральную оценку и решение задачи повторяется.
Для иллюстрации описанной методики рассмотрим следующий пример. На рис.
приведена схема автопотенциометра.
В этом автопотенциометре разность измеряемого напряжения и и напряжения, снимаемого с потенциометра 5, подается через дифференцирующий контур
на гальванометр Гальванометр снабжен фотоэлектрическим датчиком 2, посылающим сигнал в электронный усилитель 3.
Рис. XIХ.1. Схема автопотенциометра
К выходу усилителя подключена управляющая обмотка двухфазного асинхронного исполнительного электродвигателя 4. Последний через редуктор связан со щеткой потенциометра 5 и при работе системы устанавливает щетку в положение, при котором снимаемое напряжение равно подведенному напряжению и.
В линейном приближении система при обычных предположениях описывается следующими уравнениями [8]:
где
— изображения входного напряжения и напряжения, снимаемого с потенциометра, соответственно;
— изображение тока гальванометра;
— изображение угла поворота рамки гальванометра;
— электромеханическая постоянная электродвигателя;
собственная частота гальванометра;
— степень затухания гальванометра;
— сопротивление цепи гальванометра;
R и С — сопротивление и емкость дифференцирующего контура;
К — коэффициенты передачи (усиления).
Если
пренебрежимо мало, то изображение выходной величины
при ступенчатом изменении входной равно
где при
Формула (XIX. 19) дает
На рис. XIX.2 представлена зависимость интегральной квадратичной оценки
от коэффициента усиления разомкнутой системы
и порции сигнала по производной
Зависимость выражена кривыми равных значений
Эти кривые показывают, что
минимально при
сек.
При этих значениях параметров
равно
На рис. XIX.3 приведена кривая переходного процесса, соответствующего выбранным значениям параметров. Видно, что минимизация
дает здесь удовлетворительное качество переходного процесса.
Следует, однако, отметить, что аналитическое решение задачи целесообразно только для простых систем, порядок дифференциальных уравнений которых не превышает 4—5. Для определения интегральных квадратичных оценок весовых функций сложных систем в настоящее время чаще всего используются аналоговые вычислительные машины. Соответствующая методика сводится к следующему.
На аналоговой машине набирается уравнения рассчитываемой системы. Кроме этого, используют блок квадратора (блок,
Время определения одной оценки
лишь вдвое (при
) превышает время переходных процессов в модели (при моделировании в сокращенном масштабе времени это время может быть существенно меньше времени регулирования в реальной системе). Это позволяет определять за сравнительно короткое время
для многих значений варьируемых параметров и находить оптимальные величины последних.
На данной основе возможно также автоматическое определение оптимальных значений. Поиск оптимальных значений варьируемых параметров возлагается при этом на оптимизатор непрерывного или дискретного действия [10], [18].
Интегральные квадратичные критерии и синтез систем с произвольной структурой. В рассмотренных выше задачах структуры как управляемого объекта, так и управляющей системы считались заданными. Интегральные оценки служили лишь для выбора варьируемых параметров системы.
В современной теории оптимального управления интегральные критерии часто используются при отыскании оптимальных алгоритмов управления заранее неизвестной структуры [11], [19], [15].
В этих задачах минимизируемый функционал (интегральная оценка) не выражается непосредственно через параметры системы, так как даже состав этих параметров до решения задачи остается, по существу, неизвестным. В этих задачах ищется такой закон, или алгоритм, управления, который непосредственно минимизирует данный функционал—интегральную оценку. При этом, однако, в общем случае учитываются различные ограничения, накладываемые на алгоритм управления и управляемый объект.
При использовании вариационных методов задача формулируется как нахождение управления экстремали, минимизирующей данный функционал-интегральную оценку. Заметим, что для одного частного случая решение подобной задачи приведено выше в виде уравнения (XIX.34), т. е. при отсутствии ограничений в этом выражении получим уравнение экстремали, которое минимизирует функционал
Несомненно, что от вида функционала (интегрального критерия) многое зависит при отыскании оптимального управления. Однако главное содержание теории оптимального управления выходит далеко за пределы круга вопросов, именуемых интегральными критериями и оценками качества. Поэтому оно освещается в других разделах.