4. О ПРИМЕНЕНИИ ПРЯМОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА К АНАЛИЗУ УСТОЙЧИВОСТИ ОДНОГО КЛАССА СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Постановка задачи. Прямой метод в теории регулирования стали применять после опубликования работы А. И. Лурье и В. Н. Постникова о решении одной частной задачи. Позднее А. И. Лурье развил излагаемый ниже алгоритм построения функции Ляпунова, разрешающей задачу устойчивости для одного класса регулируемых систем. Эти исследования были затем продолжены и развиты рядом советских ученых.

Итак, рассмотрим систему регулирования, возмущенное движение которой описывается уравнениями

где — постоянные;

— координаты объекта регулирования;

— координата регулирующего органа; тк — постоянные регулирующего органа;

— постоянные регулятора;

— управляющий сигнал, формируемый измерительными органами регулятора, которые предполагаются идеальными.

Функция описывает скорость перестановки регулирующего органа из одного положения в другое в соответствии со значением управляющего сигнала о (см. рис. XI.2). Рассматриваемая

функция однозначная, ограниченная, обладающая следующими свойствами: при при

Условимся, что такие функции образуют класс А функций.

В некоторых случаях, оговоренных особо, будет идти речь о таких функциях , которые в дополнение к сказанному обладают следующими свойствами:

Условимся, что эти функции образуют подкласс А функций в классе А.

Выделение подкласса А преследует цель среди всевозможных исполнительных устройств, характеризуемых функциями класса А, выделить те, которые обладают значительной быстротой реагирования на поступающие сигналы . Так, если — фиксированное число, то приведенные условия означают, что модуль скорости перекладки регулирующего органа всегда больше величины

Рис. XI.2. Нелинейная характеристика исполнительного устройства с двумя крайними значениями коэффициентов линеаризации

Для функций подкласса А будем рассматривать и другое положение Но луча, ограничивающего кривую сверху при .

Все функции подкласса А будут изображаться кривыми, расположенными между лучами где — фиксированные числа (см. рис. XI.2).

Если окажется, что функция имеет какое-либо пересечение с этими лучами при то речь будет идти о диапазоне регулирования системы по а, равном

К функциям подкласса А следует отнести также -образную функцию , для которой принимается .

В частном и предельном случае может оказаться, что для некоторых -образных функций . В этом случае исполнительный орган, характеризуемый этой функцией, будем считать идеальным, т. е. таким, который бесконечно быстро переставляет регулирующий орган из одного положения в другое. Уравнение такого органа записывается следующим образом:

Рассмотренный класс функций включает в себя характеристики подавляющего большинства исполнительных органов, используемых в современной технике регулирования,

Целесообразность объединения этих характеристик одним классом функций подтверждается следующим весьма важным соображением.

Обычно определение функций производится экспериментально, путем графической записи скорости хода исполнительного органа в так называемом статическом режиме, когда величина о принимает известные фиксированные, дискретные значения. При такой записи получается как бы семейство функций , зависящее от приложенной фиксированной нагрузки.

Однако фактические условия работы исполнительных органов включают в себя непрерывное изменение действующей нагрузки. Ее действие на исполнительный орган сводится к заметному искажению вида функции записанной в статическом режиме. Это искажение не может быть полностью учтено, несмотря на то, что оно не меняет определенного выше класса функций .

В то же время особенно сильные искажения функции в процессе регулирования могут происходить в результате колебания уровня энергии внешнего источника питания регулятора. Следовательно, в каждой частной задаче невозможно строго фиксировать функцию и тем более корректно проводить и линеаризацию ее коррекции, строго фиксируя коэффициент линейного приближения. Приведенные рассуждения показывают, что в подобных задачах всегда можно определить функцию лишь с точностью ее принадлежности к классу А или подклассу А функций. Этого определения будет вполне достаточно, если основные задачи теории автоматического регулирования решать на основе прямого метода Ляпунова.

Для окончательной формулировки задачи допустим, что возмущенное движение системы регулирования описывается уравнениями (XI. 17). Требуется найти условия, которые следует наложить на параметры регулятора, выполнение которых гарантирует устойчивость установившегося состояния системы автоматического регулирования, описываемого очевидным решением уравнений (XI. 17), каковы бы ни были возмущения и функции класса А или подкласса А.

Построение функции Ляпунова. Изложим метод построения функции Ляпунова для регулируемых систем, обладающих устойчивостью при выключенном регуляторе.

Функции Ляпунова удобнее строить, если уравнения задачи приведены к так называемой канонической форме.

С этой целью рассмотрим линейную подстановку

Дифференцируя после исключения с помощью уравнений (XI. 17) величин находим

Придавая уравнениям в новых переменных каноническую форму

подберем постоянные так, чтобы удовлетворялись соотношения

где — параметры преобразования, определение которых сводится к следующему.

Первые соотношений (XI. 196) следует рассматривать как линейные однородные уравнения относительно неизвестных Как известно, они тогда лишь имеют ненулевые решения, когда их определитель равен нулю.

Таким образом, для того чтобы привести уравнения (XI. 17) к каноническому виду, мы должны выбрать числа как корни уравнения

Для завершения преобразования уравнений (XI. 17) остается выразить о через новые переменные. С этой целью из соотношений (XI. 196) необходимо определить все значения и разрешить соотношения (XI. 18) относительно старых переменных. При этом могут встретиться различные случаи в зависимости от корней уравнения Ниже будут рассмотрены лишь регулируемые системы, для которых корни — вещественные, — попарно сопряженные комплексные, и все простые обладают свойством

Для краткости такие системы назовем собственно устойчивыми.

В этом случае преобразование (XI. 18) является неособым, вследствие чего можем найти

С помощью этих соотношений, дифференцируя величину а, получим

где постоянные можно выбирать.

Следовательно, преобразование позволяет поставить вопрос об устойчивости невозмущенного движения системы регулирования (XI. 17), описываемого очевидным решением уравнений (XI. 196). Для разрешения вопроса по прямому методу Ляпунова рассмотрим функцию

где — вещественные, — попарно сопряженные комплексные и в остальном произвольные постоянные.

Поскольку очевидно, что

то при любых значениях К на основании тождества

заключаем, что функция V принимает только вещественные и всюду положительные значения, обращаясь в нуль лишь в точке Ее полная производная имеет вид

Учитывая, что

и, добавляя в правую часть выражения величину эквивалентную нулю, получим

Если постоянные определить при помощи следующего уравнения:

то полная производная примет вид

и, очевидно, будет являться знакопостоянной функцией, принимая всюду отрицательные или нулевые значения.

Итак, можно сформулировать следующую теорему [6]: если постоянные регулятора таковы, что система квадратных уравнений (XI. 21), в которой — вещественные, а — соответственно попарно сопряженные комплексные числа, имеет хотя бы одну систему решений, содержащую вещественных и попарно сопряженных комплексных чисел, то установившееся состояние системы автоматического регулирования обладает устойчивостью в большом, какова бы ни была функция класса А.

Можно доказать, что эта устойчивость асимптотическая. Если среди вещественных корней окажется один, например равный нулю, то в функции V следует опустить член и вместо него написать где этом случае в уравнениях (XI. 21) первое из них заменится уравнением которое наложит на условие

Для построения критерия устойчивости фактически нет необходимости решать уравнения (XI. 21), достаточно лишь найти условие их разрешимости. Как показывают примеры, эти условия сводятся к выполнению М совокупных неравенств, содержащих параметры объекта регулирования и регулятора, входящие в постоянные

В работе [6] предлагается следующая формула для определения этих постоянных:

где — производная по X определителя — значение определителя при в котором строка элементов с номером замещена числами

Для краткости мы не останавливаемся на выводе этих важных формул, позволяющих в каждой частной задаче миновать все промежуточные выкладки и сразу же приступить к формированию искомого критерия устойчивости, как только будут написаны исходные уравнения.

В качестве примера приложения метода рассмотрим задачу о возмущенных движениях системы автоматического регулирования, описываемую уравнениями

где — координата;

— постоянные объекта регулирования;

— координата регулирующего органа;

— постоянные регулятора, физический смысл которых ясен из написания а;

— функция класса А.

Установившееся состояние системы определяется следующими величинами:

Для того чтобы привести уравнения (XI. 22) к форме уравнений (XI. 17), примем, что

После исключения в выражении для а величины получим

где

Составим уравнение тогда получим

откуда найдем

и

Очевидно, все корни будут иметь отрицательные вещественные части, если

Далее образуем определители

Применяя формулы (XI. 22), получим

В соответствии с уравнениями имеем

Нетрудно показать, что эти уравнения непременно удовлетворяют условиям теоремы, если выполняются следующие неравенства:

Если воспользоваться обозначениями формул (XI. 23) и (XI. 23а), то последние неравенства легко привести к следующему окончательному виду:

Не имея здесь возможности останавливаться более подробно на применении прямого метода Ляпунова к исследованию устойчивости систем автоматического регулирования, мы отсылаем читателя, интересующегося этим вопросом, к специальной литературе [1,4,5].

В настоящее время учение Ляпунова об устойчивости движения развилось в самостоятельную обширную дисциплину большого прикладного значения.

Идеи Ляпунова получили свое дальнейшее развитие главным образом в трудах советских ученых и изложены в монографиях [2, 3, 7, 8].

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)