6. ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ПЕРЕХОДНОЙ И ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИК ПО КОРНЕВОМУ ГОДОГРАФУ

Построение корневого годографа линейной системы автоматического регулирования (САР) является только первым этапом анализа и синтеза САР. Корневой годограф САР содержит ценную информацию, которой можно воспользоваться для оценок качества регулирования, а также судить о средствах, необходимых для коррекции системы [26].

По конфигурации корневого годографа можно приближенно представить себе, какова будет реакция системы на то или иное типовое воздействие при некотором определенном значении параметра системы (коэффициенте усиления К или другом параметре и, что еще важнее, как будет изменяться эта реакция при варьировании параметра К (или

После выбора наиболее подходящего значения параметра К или в соответствии с предъявляемыми к САР техническими условиями нетрудно точно вычислить интересующую нас реакцию системы или по соответствующей формуле разложения Хевисайда, а также ее частотную характеристику или оценить только ширину полосы пропускания частот системы.

Поясним возможности корневых годографов следующим примером.

На рис. XVI 1.7 изображен корневой годограф, построенный по передаточной функции разомкнутой системы

Вычислим для значения при котором замкнутая система имеет полюсы

и один нуль переходную характеристику системы по известной формуле разложения:

Передаточная функция данной замкнутой системы при и указанных выше полюсах и нуле

Коэффициент 23 800 в числителе получен из условия соответствующего установившемуся режиму.

Прежде чем перейти к вычислениям, представим выражение для в более удобном для вычислений виде.

Рис. XVI 1.7. (см. скан) Корневой годограф для передаточной функции разомкнутой системы с астатизмом первсго порядка

Производная по полинома степени где имеет вид (для простоты взято )

При подстановке все слагаемые этого выражения, кроме первого, обращаются в нуль.

При остается только второе слагаемое и т. д.

Таким образом, значение производной при

Произведение (XVII.65) состоит из множителей где пробегает все значения от 1 до за исключением Следовательно, для можно написать

Вычисления упрощаются, если пользоваться корневыми годографами. В знаменателе каждый из сомножителей изображается на плоскости вектором, проведенным из полюса — к замкнутой системы в полюс (рис. XVII.7). Таким образом, корневой годограф содержит все данные для вычисления Совершенно аналогично вычисляется импульсная реакция системы

Вычислим для нашего конкретного примера члены правой части Очевидно, что Числитель первого слагаемого суммы при равен

Знаменатель этого слагаемого

Следовательно, первое слагаемое (не считая 1) равно

Вычисления, однако, практически удобнее производить, пользуясь значениями длин и углов векторов, взятыми из чертежа корневого годографа (рис. XVI 1.7), на котором нанесены полюсы и нуль

Обозначив запишем

и

Второе слагаемое при дает выражение, сопряженное с первым слагаемым:

Оба слагаемых вместе дают колебательную составляющую

Вычисляя по данным рис. XVII. 1 третье и четвертое слагаемые суммы, получаем

или

На рис. XVI 1.8, а изображены все составляющие переходной характеристики и сама функция откуда видно, что основное значение имеют первые две составляющие, обусловленные ближайшими полюсами

Время переходного процесса сек, а выброс о (перерегулирование) близок к нулю. Длительность переходного процесса определяется экспоненциальной составляющей которая затухает медленнее других; вторая экспонента практически никакого влияния на переходную характеристику не имеет. Заметим, что обычно амплитуды составляющих тем больше, чем ближе к началу координат плоскости находятся обусловливающие их полюсы, если только вблизи этих полюсов нет нулей.

В нашем конкретном случае вблизи полюса имеется нуль поэтому амплитуда получилась небольшой. В случае совпадения полюса и нуля что означает вырождение системы и снижение ее порядка на единицу [т. е. система оказывается не порядка]. Вторая экспонента затухает столь быстро, что практически влияет на только вблизи

Таким образом, из четырех полюсов системы полюсами, определяющими ход переходного процесса, являются только три ближайших полюса (некомпенсированный нулем Мы их назвали выше доминирующими полюсами. Отметим также влияние нуля системы на амплитуды Оно заключается в том, что эти амплитуды возрастают тем сильнее, чем ближе нуль (или нули, если их несколько) к началу плоскости . При эти амплитуды .

Система второго порядка с полюсами такими же, как без нулей, расположенными на конечном расстоянии от начала координат плоскости (но и без полюсов и ), имела бы перерегулирование, которое равно

Рассмотренная выше система четвертого порядка с доминирующими полюсами имеет малый или равный нулю выброс, который трудно определить при графическом построении. Это объясняется влиянием дополнительных действительных полюсов которые, как это будет показано ниже, уменьшают перерегулирование (и тем эффективнее, чем они ближе к началу плоскости в то время как нули его увеличивают. В нашем случае действие полюсов сильнее, чем одного нуля так как находится ближе к началу координат, чем нуль

Рис. XVI 1.8. Переходные характеристики следящей системы с астатизмом первого порядка: а — составляющие переходных характеристик; б — переходные характеристики при

При снижении коэффициента усиления, например, до значения что соответствует доминирующим полюсам и четвертому полюсу переходная характеристика будет

Из графика (рис. XVII.8, б) видно, что выброс отсутствует, а длительность процесса возросла до 1 сек. Первое объясняется уменьшением частоты колебательной составляющей а второе — снижением затухания составляющей в связи с приближением полюса к оси и его большим отдалением от нуля

При получим переходную характеристику изображенную на рис. XVII.8, б. В этом случае полюс еще в большей степени, чем при , будет компенсирован нулем и система ведет себя почти как система второго порядка. Переходная

характеристика при этом становится тем более колебательной, чем больше так как при этом уменьшается затухание доминирующих комплексных полюсов и увеличивается их частота Длительность процесса также возрастает. Следовательно, причиной изменения переходной характеристики при вариации К является различное взаимное расположение полюсов К и нулей у у передаточной функции Длительность переходного процесса в основном зависит от затухания ближайших к мнимой оси полюсов, не компенсированных слишком близкими нулями. Выброс зависит от относительного коэффициента демпфирования доминирующих комплексных полюсов и от степени близости к началу координат плоскости других полюсов и нулей причем близкие полюсы уменьшают выброс, а близкие нули увеличивают его. Влияние указанных полюсов и нулей на выброс объясняется в основном тем, что они изменяют амплитуду и начальную фазу колебательной составляющей Эти выводы, хотя и получены при анализе частного примера, имеют, однако, общий характер.

Таким образом, мы убедились, что можно делать определенные выводы о характере переходного процесса системы при типовых воздействиях, просматривая корневые годографы и следя за тем, как изменяются доминирующие полюсы системы при изменении параметра корневых годографов (К или ).