1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА

Рассмотрим динамическую систему с конечным числом степеней свободы, имеющую к обобщенных координат и предположим, что все связи этой системы не зависят от времени и что среди них нет неинтегрируемых дифференциальных связей. Вообще говоря, обобщенные координаты могут иметь размерность, не обязательно совпадающую с размерностью длины, протяженности. Точно так же и размерность обобщенных сил, действующих на обобщенные координаты, может отличаться от размерности силы. Обобщенные силы могут иметь размерность момента, давления, напряжения и т. п.

Если динамическая система обладает запасом кинетической энергии Т, то ее движение может быть описано системой дифференциальных уравнений Лагранжа.

Уравнения Лагранжа могут быть получены из вариационного принципа Гамильтона. Согласно этому принципу всякая динамическая система, находящаяся под влиянием консервативных сил, движется таким образом, чтобы минимизировать среднее значение по времени разности между кинетической и потенциальной энергиями, т. е.

где — кинетическая энергия; — потенциальная энергия.

Если ввести функцию Лагранжа

то принцип Гамильтона [формула (IV. 1)] можно представить в виде

Учитывая выражение (IV.2), запишем

Подставляя выражение (IV.4) в формулу (IV.3) и полагая при найдем

Так как число обобщенных координат равно числу степеней свободы и так как не зависят от времени, то уравнения (IV.5) справедливы лишь в том случае, если выражения в скобках равны нулю, т. е. а

Уравнения вида (IV.6) называются уравнениями Лагранжа. Необходимо подчеркнуть, что уравнения Лагранжа не зависят от выбора координат, т. е. они сохраняют свой вид или, другими словами, остаются инвариантными при переходе от одной системы координат к другой.

Учитывая выражение (IV.2), уравнения (IV.6) можно переписать в следующем виде:

Уравнение (IV.7) можно рассматривать как частный случай уравнений Лагранжа второго рода:

где — обобщенные силы.

В случае использования уравнения (IV.7)

Обобщенные силы, определяемые последним равенством и зависящие только от обобщенных координат называются силами, имеющими потенциал.

В качестве простого примера, поясняющего применение уравнений Лагранжа, рассмотрим, пренебрегая силой трения, элементарную механическую систему, состоящую из груза с массой подвешенного на пружинке с коэффициентом упругости Кинетическая энергия движущейся массы

а потенциальная энергия пружины

Подставляя найденные выражения для Т и V в уравнение (IV.7), найдем следующее дифференциальное уравнение рассматриваемой системы:

Система уравнений (IV.8) описывает поведение консервативной динамической системы, в которой рассеяние энергии отсутствует.

Однако во всех системах автоматического регулирования действуют силы трения и имеет место рассеяние энергии. Диссипативные силы или силы вязкого трения пропорциональные скорости, могут быть определены через функцию рассеяния энергии

В общем случае, когда в системе действуют обобщенные силы имеющие потенциал V, обобщенные диссипативные силы и внешние силы уравнения движения принимают вид

Кинетическая энергия Т представляет однородную квадратич положительно определенную форму от обобщенных скоростей, в которой коэффициенты в общем случае являются функциями координат. Таким образом, можно записать выражение кинетической энергии в следующем виде:

где

Коэффициенты носят название коэффициентов инерции.

Потенциальная энергия V в первом приближении представляет положительно определенную квадратичную форму относительно обобщенных координат:

где

В данном случае все производные вычисляются в положении равновесия при , таким образом, являются постоянными.

Функция рассеяния, или диссипативная функция является положительно определенной квадратической формой от обобщенных скоростей системы и имеет вид

При производные функции рассеяния по скорости, взятые с обратным знаком, равны обобщенным диссипативным силам.

Функция рассеяния R характеризует собой скорость рассеяния энергии в системе. Работа сил сопротивления, пропорциональных

скорости, в единицу времени численно равна функций рассеяния взятой с обратным знаком.

Если то получается При этом несмотря на то, что в системе действуют силы, пропорциональные обобщенным скоростям. Такие силы называются гироскопическими силами. Эти силы не производят работы, так как они действуют перпендикулярно направлению движения точки, на которую они действуют. Примером таких сил являются гироскопические силы, возникающие при вращении тел, силы Кориолиса, а также электромагнитные силы, действующие на заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле.

Уравнения Лагранжа (IV.9) в общем случае переходят в систему к нелинейных уравнений второго порядка вида