2. ОБЩИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Уравнения, описывающие систему автоматического регулирования, состоят из следующих трех групп уравнений: уравнений объекта регулирования, уравнений регулятора и уравнений ошибки.

Рис. IV.1. Общая структурная схема n-мерной системы автоматического регулирования

Объект регулирования в общем случае представляет собою динамическую систему, описываемую матрицей обобщенных координат которую мы обозначим через Итак,

Переменные входящие в последний столбец, условимся считать регулируемыми, или выходными переменными (рис. IV. 1). Они образуют матрицу-столбец или вектор:

Векторная функция определяемая выражением (IV. 12), называется вектором состояния объекта регулирования.

Векторные функции:

образующие остальные столбцов матрицы (IV. 11), называются промежуточными векторными переменными объекта.

Регулятор, так же как и объект регулирования, в общем случае представляет собою динамическую систему, описываемую матрицей обобщенных координат:

Переменные входящие в последний столбец, являются выходными переменными регулятора и одновременно входными переменными объекта. Они называются также регулирующими воздействиями и образуют матрицу-столбец или вектор регулирования:

Следует заметить, что только переменные являются теми из обобщенных координат регулятора, которые входят не только в уравнения регулятора, но и в уравнения объекта регулирования. Объект регулирования находится под влиянием возмущающих воздействий

Таким образом, общие уравнения объекта регулирования, учитывая выражение (IV. 10), можно представить в следующем виде:

Если предположить, что в процессе регулирования объект непосредственно не оказывает обратной реакции на регулятор, а воздействует на него лишь через обратную связь и элемент сравнения, т. е. что регулятор является системой направленного действия, то уравнения регулятора не будут содержать обобщенных координат объекта Внешними воздействиями для регулятора являются сигналы ошибки, число которых равно числу регулируемых переменных, т. е. Кроме того, к регулятору могут быть приложены возмущающие воздействия которые принято называть помехами.

Учитывая сказанное, уравнения регулятора можно записать в виде

где

Функции определяющие входные воздействия на регулятор и зависящие от составляющих ошибки, иногда называются законом регулирования. Они отличны от нуля лишь для уравнений (IV. 17), общее число которых равно .

Наконец, третьей группой уравнений являются уравнения ошибок:

которые обычно сводятся к виду

или в векторной форме:

Итак, общие уравнения системы связанного зависимого автоматического регулирования (рис. IV. 1) имеют вид:

1) уравнения объекта регулирования

Рис. IV.2. Структурная схема -мерной системы несвязанного регулирования

2) уравнения регулятора

3) уравнения ошибок

В случае систем несвязанного регулирования уравнения регулятора (IV.20) упрощаются, т. е. они распадаются на взаимно независимых систем уравнений, каждая из которых описывает один из каналов регулирования или один из одномерных регуляторов (рис. IV.2), т. е. таких регуляторов, каждый из которых имеет свой собственный канал формирования регулирующего воздействия

Рис. 1V.3. Структурная схема регулятора, состоящего из звеньев направленного действия без внутренних обратных связей

Дальнейшее упрощение уравнений регуляторов можно получить, если учесть их характерную особенность, как динамических систем. Последняя заключается в том, что они обычно состоят из простых элементов или звеньев направленного действия (рис. IV.3).

Каждое из таких звеньев описывается в большинстве случаев уравнением не выше второго порядка, в которое входят лишь две переменных: обобщенная координата или выход рассматриваемого звена, например и обобщенная координата или выход предшествующего звена являющаяся для рассматриваемого звена внешним воздействием. Поэтому уравнения, например, канала регулятора, описываемого обобщенными координатами пренебрегая помехами, можно представить в виде

Рис. IV.4. Структурная схема регулятора, имеющего внутренние обратные связи

Если регулятор имеет внутренние обратные связи (рис. IV.4), то некоторые из уравнений (IV.22) принимают вид

где

В случае несвязанных и независимых систем автоматического регулирования на независимых систем уравнений разделяются не только уравнения регулятора, но и уравнения объекта регулирования (рис. IV.5). Таким образом, -мерная несвязанная и независимая система может рассматриваться состоящей из одномерных систем, каждая из которых описывается следующими уравнениями:

i-го канала объекта регулирования

i-го канала регулятора

ошибки

Отличие уравнений (IV. 19) — (IV.21) от уравнений (IV.24) — (IV.26) состоит в том, что в первые входят векторные функции а в последние — скалярные функции

Рис. IV.5. Структурная схема -мерной несвязанной независимой системы автоматического регулирования

Рис. IV.6. Одномерная система автоматического регулирования

В частном случае системы с одной регулируемой величиной (рис. IV.6) необходимость в значке I в уравнениях (IV.24) — (IV.26), обозначающем номер канала, отпадает и уравнения принимают вид: объекта регулирования

регулятора

ошибки

Рассмотренные выше общие уравнения объекта (IV. 19) и регулятора (IV.20), вообще говоря, являются уравнениями второго порядка относительно входящих в них переменных

Однако заменой

они всегда могут быть сведены к уравнениям первого порядка, т. е.

Иногда уравнения (IV.31), (IV.32) удается решить относительно производных и они принимают вид

где наличие в правой части уравнений (IV.31), (IV.32) функций времени учтено тем, что правые части уравнений (IV.33), (IV.34) рассматриваются как явные функции от Введем обозначения:

Тогда уравнения (IV.33), (IV.34) принимают вид

Полученная форма уравнений, называемая нормальной формой, весьма удобна, в частности, для исследования устойчивости. Вектор состояния появился в уравнениях регулятора (IV.36) в результате учета формулы (IV. 18), связывающей вектор ошибки с вектором состояния