4. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МНОГОКОНТУРНЫХ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ, ДОПУСКАЮЩИХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ПРАВИЛ СВЕРТЫВАНИЯ КОНТУРОВ, И НЕКОТОРЫЕ ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

На рис. IX.5, а-е приведены многоконтурные схемы без перекрестных связей. Общее правило при свертывании таких схем таковы: начинать с внутреннего контура, применяя к нему формулы свертывания согласно-параллельных или встречно-параллельных схем, затем каскадировать свернутый контур со смежными звеньями, снова применять формулы свертывания и т. д.

Для согласно-параллельной схемы (рис. IX.5, а) запишем эту процедуру в операторной форме, справедливой для звеньев с постоянными параметрами:

Раскрытие последней формулы надо начинать с внутренних квадратных скобок.

Свертывание встречно-параллельной схемы (рис. IX.5, б) со взаимным полным охватом внутренних связей внешними также следует начинать с внутреннего контура обратной связи. В операторной форме записи общую передаточную функцию схемы наиболее просто получить на основе инверсии схемы. Действительно, инверсная передаточная функция

(кликните для просмотра скана)

Приводя правую часть к общему знаменателю, находим прямую передаточную функцию:

Обозначив произведение передаточных функций всех звеньев в каждом разомкнутом контуре общими операторами

получим

Для случая всех отрицательных обратных связей

Обобщая результат на любое число контуров, сформулируем правило: общая передаточная функция многоконтурной схемы с отрицательными неперекрестными обратными связями равна передаточной функции прямого тракта, деленной на единицу, плюс сумма передаточных функций всех разомкнутых контуров.

Частный случай для одноконтурной встречно-параллельной схемы

был рассмотрен ранее.

На схеме (рис. IX.5, в) также имеются только обратные связи, но с неполным взаимным охватом контуров; так, контур

не охватывает контур

и наоборот.

Добавим к этим обозначениям контуров еще внешний контур

и, положив, что все связи отрицательные, запишем инверсную передаточную функцию

откуда переходим к прямой передаточной функции

Новым в этой формуле по сравнению с выражением (IX.37) является появление в знаменателе произведения передаточных функций контуров, взаимно не охваченных один другим.

Схема (рис. IX.5, г) со встречно-параллельным контуром в прямой цепи

и в цепи обратной связи

при наличии внешнего контура

имеет общую инверсную передаточную функцию

или прямую передаточную функцию

т. е. в знаменателе, помимо суммы передаточных функций всех имеющихся контуров, появляется еще произведение взаимно неохватывающих друг друга контуров, а в числителе, помимо передаточных функций звеньев прямого тракта, добавляется знаменатель передаточной функции замкнутого контура, имеющегося в обратной связи

Для лестничной схемы (рис. IX.5, д), имеющей многоступенчатую однородную обратную связь с непрерывным наращиванием первой обратной связи последующими встречно-параллельными контурами, общую передаточную функцию схемы удобно записывать в непреобразованной форме на основе многократного применения формулы (IX. 39):

При выводе этой формулы сначала свертывается контур

имеющий в прямой цепи звено включенное в числитель (IX.47), но при этом следует учитывать, что звено в контуре в свою очередь, охвачено обратной связью, входя в контур

т. е. при замыкании передаточную функцию надо поделить на что и проделано в знаменателе формулы (IX.47).

Но в контуре имеется звено которое охвачено дополнительной обратной связью, входя в контур

следовательно, передаточную функцию звена входящего в следует поделить на что и проделано в формуле (IX.47). На этом свертывание трехконтурной схемы заканчивается.

Но если лестничная схема имеет большее число контуров расположенных в том же порядке, что и предыдущие контуры то формула (IX.47) развивается по принципам построения непрерывной дроби (как показано ниже штрих-пунктирной линии), отделяющей формулу для трехконтурной схемы от последующей добавки.

Рассмотрим теперь лестничную схему (рис. IX.5, д), характеризуемую неоднородной многоконтурной обратной связью с чередованием контуров отрицательной обратной связи:

и согласно-параллельной цепи

Для получения симметричной формы записи умножим Во на инверсную передаточную функцию звена и обозначим

Тем самым, стала равноценной передаточной функцией условного контура, отмеченного на рис. IX.5, е штриховой стрелкой.

Свертывание схемы (рис. IX.5, д) начинаем по тому же принципу, что и предыдущей схемы, т. е. учитываем весь контур обратной связи путем деления передаточной функции прямого тракта на сумму а затем принимаем во внимание, что имеющееся в этом контуре звено должно быть заменено алгебраической суммой

учитывающей согласно-параллельную ветвь опять-таки в целом. Благодаря введенному обозначению (IX.53) все сводится к умножению на дополнительный множитель

Далее приходится учитывать, что в составе имеется звено охваченное обратной связью, что требует коррекции его передаточной функции путем деления на и приводит окончательно к общей передаточной функции

Для трехконтурной схемы выражение в квадратных скобках равно единице. При числе контуров больше трех в формуле усложняется дробь в квадратных скобках. Ее числитель будет а знаменатель Затем умножается на

Примером для применения формулы (IX.55) может служить каскадная схема неоднонаправленных четырехполюсников, структура которой рассматривалась на рис. IX.2, г-ж при определении передаточной функции между входом и выходом

Для первого четырехполюсника, нагруженного сложной схемой, передаточная функция будет

В схеме (рис. IX.2, ж) имеются следующие три контура в обратной связи:

и два условных контура

Поэтому, учитывая формулу (IX.55), общую передаточную функцию будем иметь в виде

Числитель в этой формуле дает передаточную функцию холостого хода первого четырехполюсника, а знаменатель, обозначенный общей функцией позволяет учитывать влияние на передаточную функцию последующих четырехполюсников, включенных каскадно.

Из рис. IX.5, е можно также получить дополнительную передаточную функцию для выхода используя готовую передаточную функцию (IX.55) для точки 1 и последовательно передвигаясь к точкам 2—4 схемы. Так как все условия замыкания уже были учтены при выводе формулы (IX.55), достаточно домножить результат только на передаточные функции элементов, попадающих в прямой тракт 1—4 для нового выхода и учитывать параллельные и обратные связи, наложенные только на элементы нового прямого тракта. Так, в формуле

Считывается только контур контуры учитывать не надо, поскольку их влияние уже было отражено при формировании сигнала в точке 1 по формуле (IX.55) и сигнала в точке 3 после умножения на На При дальнейшем учете элементов нового прямого тракта можно, как показано на рис. IX.5, а, отсечь пунктирной линией все звенья нижней части схемы и рассчитывать передаточную функцию только ее верхней части.

Подставляя в формулу (IX.60) значение из выражения (IX.55), получим

В числителе формулы перемножены передаточные функции всех элементов нового прямого тракта; знаменатель сформирован путем двукратного применения формулы (IX.55) сначала ко всем звеньям, а затем к элементам выше пунктирной линии (IX.5, е).

Если схема имеет, например, пять контуров, то формула для свертывания приобретает вид

где — произведение передаточных функций всех элементов нового прямого тракта.

Для рис. IX.2, ж по формуле (IX.62) может быть вычислена передаточная функция трехкаскадной схемы

В этом случае новый прямой тракт образуется из элементов

и определяет передаточную функцию блочной структурной схемы, соответствующей случаю однонаправленности исходной электрической схемы (рис. IX.5, в). Остальные передаточные функции контуров определены формулами (IX.57), что позволяет написать общую передаточную функцию трехкаскадной электрической схемы:

где — соответствует знаменателю формулы (IX.59).

В буквенной форме можно провести некоторые упрощения, перемножив компоненты знаменателя, но при проведении числовых расчетов удобнее оставить непреобразованную формулу (IX.64), используя результаты расчетов менее сложных членов при определении более сложных.