4. ЧАСТОТНЫЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ

Частотным критерием устойчивости, получившим в настоящее время наиболее широкое практическое применение, является критерий, основанный на рассмотрении частотных характеристик разомкнутых систем автоматического регулирования. Этот критерий, доказанный Найквистом применительно к ламповым усилителям с обратной связью, впервые был введен в теорию регулирования А. В. Михайловым. Применение частотного критерия устойчивости, вытекающего, так же как и критерий Михайлова, из принципа аргумента, оказывается практически целесообразным по следующим причинам:

1. Критерий основан на рассмотрении передаточной функции разомкнутой системы которая в случае систем автоматического регулирования обычно состоит из ряда сравнительно простых сомножителей, содержащих в качестве коэффициентов реальные параметры системы. Это обстоятельство позволяет, даже в случае весьма сложных систем, выбирать их параметры таким образом, чтобы они были устойчивыми. Таким образом критерий учитывает своеобразие систем автоматического регулирования, заключающееся в том, что исследование их свойств в разомкнутом состоянии проще, чем в замкнутом.

2. Критерий применим в тех случаях, когда дифференциальные уравнения системы (или некоторых ее звеньев) не известны, а известны лишь их частотные характеристики, которые могут быть определены экспериментально,

3. С помощью критерия возможно исследовать устойчивость систем, содержащих не только сосредоточенные, но и распределенные параметры.

4. Критерий, как это будет показано в дальнейшем, позволяет связать исследование устойчивости с последующим анализом качества.

Рассмотрим линейную динамическую систему, характеристическое уравнение которой имеет вид

Назовем последнее уравнение «исходным». Далее рассмотрим также характеристическое уравнение вида

и назовем его «измененным» уравнением. Так, например, если функции представляют собой полиномы от , то основное уравнение можно представить в виде

а измененное

Задача, для решения которой предназначен частотный критерий, может быть сформулирована следующим образом.

Предполагая известным число расположенных в правой полуплоскости нулей функции представляющей собой левую часть «исходного» характеристического уравнения, требуется определить необходимые и достаточные условия для отсутствия нулей в правой полуплоскости функции представляющей собою левую часть «измененного» характеристического уравнения.

В случае систем автоматического регулирования роль исходного уравнения играет характеристическое уравнение разомкнутой системы, а роль измененного — характеристическое уравнение замкнутой системы.

Действительно, рассмотрим, например, передаточную функцию замкнутой системы

и передаточную функцию разомкнутой системы. Полагая, что

заметим, что характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет вид (XII. 24), в то время как характеристическим уравнением замкнутой системы является уравнение (XI 1.25).

Таким образом, критерий Найквиста, в отличие от критерия Михайлова и Гурвица-Рауса, сводит анализ устойчивости замкнутой системы к анализу ее свойств в разомкнутом состоянии.

Перейдем теперь к выводу частотного критерия устойчивости, предположив, что передаточная функция разомкнутой системы удовлетворяет условию

Для систем с сосредоточенными параметрами это ограничение означает, что порядок числителя выражения не превышает порядка его знаменателя. Кроме того, введем следующие упрощающие предположения:

функция не имеет полюсов во всей правой полуплоскости, включая мнимую ось. Это означает, что разомкнутая система устойчива; функция представляет собой дробно-рациональную функцию от т. е. числитель и знаменатель этой функции представляют собой полиномы от Это означает, что мы ограничиваемся пока рассмотрением систем, содержащих лишь сосредоточенные и не содержащих распределенные параметры.

Для доказательства критерия рассмотрим вспомогательную функцию:

числитель которой представляет собой левую часть характеристического уравнения замкнутой системы, а знаменатель — левую часть характеристического уравнения разомкнутой системы.

Далее рассмотрим плоскость комплексного переменного При этом заметим, что функция не имеет полюсов в правой полуплоскости, так как согласно сделанному выше допущению разомкнутая система устойчива и знаменатель функции может обращаться в нуль лишь при отрицательных значениях а. Числитель же выражения может обратиться в нуль как в правой, так и в левой полуплоскости, причем если хотя бы один из нулей расположен в правой полуплоскости, то это означает, что характеристическое уравнение системы в замкнутом состоянии имеет корень с вещественной положительной частью и, следовательно, рассматриваемая система неустойчива.

Таким образом, наша задача сводится к тому, чтобы найти условия, при которых функция не имеет нулей, расположенных в правой полуплоскости. Для этого воспользуемся принципом аргумента. Рассмотрим контур С на плоскости состоящий из мнимой оси и полуокружности бесконечно большого радиуса (рис. XII. 3). Так как функция не имеет полюсов в правой полуплоскости согласно предположению, то число нулей этой функции, находящихся внутри контура С, равно числу оборотов вектора в плоскости вокруг начала координат.

Таким образом, число нулей функции внутри контура С равно нулю и замкнутая система устойчива лишь в том случае, если начало координат на плоскости находится вне замкнутой

кривой, описываемой концом вектора при изменении вдоль контура С в плоскости

Для того чтобы найти число оборотов вектора , представим выражение (XI 1.31) в следующем виде:

Полагая в выражении (XII. 32)

получим

Разделив все члены числителя и знаменателя в выражении (XII. 34) на найдем

и, следовательно, на полуокружности , т. е. при

Итак, согласно выражению (XII. 36) функция на равна постоянной величине. Поэтому при изменении вдоль угол поворота вектора равняется нулю.

Следовательно, чтобы сосчитать число нулей функции внутри контура С, равное числу оборотов вектора вокруг начала координат, достаточно изменять вдоль мнимой оси, т. е. придавать чисто мнимые значения изменяя от до Итак, можно высказать следующее утверждение. Для того чтобы число нулей функции внутри контура С равнялось нулю, и замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы при изменении от до число оборотов вектора вокруг начала координат в плоскости равнялось нулю. Если же при изменении от до вектор делает оборотов против часовой стрелки, то это означает, что характеристическое уравнение замкнутой системы имеет корней с положительной вещественной частью. Но из рис. XII. 10,а, видно, что число оборотов вектора вокруг начала координат в плоскости равно числу оборотов вектора вокруг точки в плоскости Поэтому мы можем сформулировать следующий критерий устойчивости:

для того чтобы система, устойчивая в разомкнутом состоянии, была устойчива в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы число оборотов вектора вокруг точки при изменении от до равнялось нулю.

Кривая, описываемая концом вектора при изменении от до называется его годографом, или амплитудно-фазовой характеристикой разомкнутой системы.

Можно написать:

Функции являются четными, а функции

— нечетными функциями от . Следовательно,

Сравнивая выражение (XII. 36 а) с (XII. 366), легко видеть, что точки амплитудно-фазовой характеристики, соответствующие равным, но противоположным по знаку значениям , располагаются симметрично относительно оси вследствие чего амплитуднофазовая характеристика представляет собою кривую, симметричную относительно вещественной оси в плоскости

Рис. XII.10. Годограф вектора и соответствующий ему годограф

Поэтому при построении амплитудно-фазовой характеристики можно ограничиться лишь положительными значениями .

Интервал положительных частот в котором следует изменять , определяется из тех соображений, чтобы модуль функции вне этого интервала частот был значительно меньше единицы, т. е. чтобы имело место неравенство

при

Критическим значением передаточного коэффициента К назовем то его значение, при котором амплитудно-фазовая характеристика проходит через критическую точку и система находится на границе устойчивости.

Амплитудно-фазовые характеристики систем в зависимости от расположения точек их пересечения с вещественной осью относительно критической точки к координатам можно подразделить на два основных типа: на амплитудно-фазовые

характеристики первого рода, все точки пересечения которых с вещественной осью если таковые имеются, расположены справа от критической точки (кривая I на рис. XII.11), и на амплитудно-фазовые характеристики второго рода, точки пересечения которых с вещественной осью расположены как справа, так и слева от критической точки (кривая II на рис. XII.11).

Рис. XII.11. Амплитудно-фазовые характеристики первого и второго рода

В системах первого типа увеличение передаточного коэффициента К выше его критического значения приводит к нарушению устойчивости, а его уменьшение ниже критического значения — к стабилизации системы.

В системах же второго типа при увеличении передаточного коэффициента выше его критического значения система может превратиться из неустойчивой в устойчивую, а при уменьшении — из устойчивой в неустойчивую.

Введем понятие о запасе устойчивости. Будем считать, что система обладает требуемым запасом устойчивости, если она удовлетворяет условию устойчивости и при значениях модуля характеристического вектора отличающихся от единицы не менее чем на заданную величину называемую запасом устойчивости по модулю, имеет угол поворота или фазу, отличающуюся от не менее чем на величину 7, называемую запасом устойчивости по углу или по фазе (см. рис. XII. 12).

Рис. XII.12. К определению понятия запаса устойчивости

Таким образом, амплитудно-фазовые характеристики, обладающие требуемым запасом устойчивости, не должны входить внутрь области .