9. ПРАВИЛА СТРУКТУРНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ДЛЯ СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Устранение дифференцирующих звеньев в детализированных структурных изображениях. При получении детализированной структуры уравнения с развитой правой частью на основе условно-разрешенной формы (см. § 4) не удается избежать в структуре дифференцирующих звеньев, которые неудобны при моделировании. Рассмотрим преобразованную детализированную структуру, приведенную на рис. IX.38, а. Интегрирующие элементы схемы и обратные связи соответствуют структуре приведенного уравнения связи порядка.

Элементы схемы отражают преобразованные условия подачи входного сигнала в новые точки схемы через блоки переменных коэффициентов. Определим, какому виду правой части уравнения связи отвечает такая преобразованная детализированная структура. Для этого перенесем сумматоры 2, 3 на вход схемы, как показано на рис. IX.38, б. Поскольку перенос сумматора производится против хода сигнала в основном тракте, то при переходе через каждый узел и звено осуществляется принцип нейтрализации или инверсного дублирования, рассмотренный в § 6. Так, инверсия интегратора ддет дифференциатор а инверсия сумматора меняет знак в ответвляющихся линиях обратных связей. При последующем

переносе задублированного сумматора вдоль линии обратной связи перемещение идет по ходу сигнала, и блоки переменных коэффициентов просто дублируются. Как видно из рис. IX.38, б, наибольшее число прямых и инвертированных дублированных элементов содержит цепь с функцией так как для нее потребовалось много переносов. Без преобразований осталась ветвь, содержащая функцию так как она Уже в схеме (рис. IX.38, а) подавалась непосредственно на ее вход (сумматор 1).

Рис. IX.38. Преобразования детализированной структуры с целью исключения дифференцирующих звеньев

Цепь с отделена от входа двумя звеньями, поэтому соответствующая цепь в схеме (рис. IX.38, б) содержит два дублирующих элемента (один из них инвертированный). Установим, какой сигнал будет действовать по этой схеме между сумматорами 1 и 4. Очевидно, функция и будет общей функцией правой части уравнения связи. Соблюдая порядок операций, запишем

При дифференцировании произведения удобно применить символы дифференцирования по адресованные только к функциям, отмеченным в индексах, и являющиеся аналогами

частных производных. На основе этих обозначений перепишем формулу Лейбница для производной от двух сомножителей:

Применяя обозначения (IX.129а) и (IX.1296) вформуле (IX.128), получим

Далее реализуем операцию дифференцирования, адресованную к в форме

а символ оставим непреобразованным, сгруппировав члены с одинаковыми показателями степени

Поскольку правая часть уравнения связи для обычно записывается так:

где индекс символа дифференцирования опущен, то, решая уравнения балансов коэффициентов при одинаковых степенях в уравнениях получим

Эти уравнения последовательно решаются для функций и позволяют по правой части уравнения (IX. 131) строить преобразованную детализированную структуру (рис. IX.38, а) без дифференциаторов, но с дополнительными связями, содержащими найденные функции

Преобразование сложных переменных структур к сопряженной форме. Приведенные в § 4 правила перехода от детализированной структуры переменной системы к сопряженной ей структуре могут быть развиты и многократно применены для укрупненных структур, например, типа, показанного на рис. IX.39, а, где блоками 1—4 схемы служат

звенья, описываемые уравнениями с переменными параметрами. Первый шаг преобразования укрупненной структуры к сопряженной форме сводится к перемене местами входа и выхода, замене узлов на сумматоры и обратно. Второй шаг состоит в повторении этих же преобразований внутри каждого блока. На рис. IX.39, б показана укрупненная сопряженная структура всей схемы после первого шага. На рис. IX.39, в для одного из блоков (блока 2) показана детализированная внутренняя сопряженная структура, соответствующая звену второго порядка

Рис. IX.39. Преобразование укрупненных структур системы с переменными параметрами в сопряженной форме

Если от сопряженной структуры надо переходить к схеме модели, то дифференцирующие звенья следует устранить, перейдя к преобразованной сопряженной схеме каждого блока, имеющего Для примера преобразование схемы блока 2 к сопряженной форме показано на рис. IX.39, г.

Рассчитаем входящие в схему дополнительные функции времени После переноса узла 2 в точку 1 ответвляющаяся цепь будет содержать два инвертированных блока: дифференциатор (вместо интегратора) и блок (вместо его инверсии). Если в точке 1 сигнал обозначить то, пропуская его через блок и преобразованную вторую цепь, получим выходной сигнал в следующей форме:

Так как в схеме (рис. IX.39) имеется следующее соотношение:

решая уравнения балансов для двух последних уравнений (IX. 133а) и (IX. 1336), получим сначала одну неизвестную функцию

а затем вторую

Таким путем определяются все коэффициенты в дополнительных цепях преобразованных структур типа рис. IX.39, г. Если в исходной схеме встречаются звенья с постоянными параметрами, то они могут быть подключены в сопряженную модель в виде реальной аппаратуры, так как для случая постоянства параметров преобразование к сопряженной форме схему звена не изменяет.

Преобразования параметрическихструк-турных схем. Этот раздел связан прежде всего с понятием параметрической передаточной функции (см. рис. IX.1, и). При этом отметим, что введение в состав постоянной системы хотя бы одного переменного безынерционного коэффициента лишает преобразование Лапласа переводящего описание реакции системы из временной области в область комплексного переменного его основных преимуществ. В переменных системах нельзя получить алгебраическую связь между изображением реакции и воздействия и характеризовать передаточные свойства системы передаточной функцией, независящей от вида сигналов.

Приведенные на рис. IX.1, и, к структуры несколько расширяют возможности структурного анализа переменных систем на основе применения метода -преобразования в области комплексного переменного но не приближают исследователя к получению передаточной функции. Действительно, рассмотрим для упрощения анализа схему из двух элементов, содержащую входной стационарный элемент с передаточной функцией и переменный коэффициент на выходе системы. Подавая на вход такой системы воздействие получим реакцию

в форме изображения по Лапласу (-изображения). Однако полученное решение не позволяет из отношения изображений

выделить сомножитель, независящий от входного сигнала и играющий роль передаточной функции. Эта задача решается при переходе ко второму временному аргументу 0 — рабочему интервалу. Функции этого аргумента обозначают звездочкой также как и изображения по Лапласу переводящие функции, являющиеся решением сопряженных уравнений, из области временного аргумента 0 в область комплексного аргумента Структурные схемы в ряде случаев облегчают получение параметрической передаточной функции системы при известных параметрических передаточных функциях элементов и повышают наглядность этой операции. Перейдем к рассмотрению некоторых типовых схем.

В табл. IX.2 приведены примеры структурных преобразований каскадных и согласно-параллельных схем соединений динамических элементов (см. стр. 379).

В 1-м столбце приведены физические или прямые схемы соединения элементов и заданы их уравнения в алгебраизованной форме. Во столбце иллюстрируется структура весовой функции той же схемы, но в сопряженной форме, причем уравнения динамических элементов заданы для области второго — временного аргумента. В 3-м столбце показаны условия перехода к операторной структурной схеме, возбуждаемой импульсом, который имеет единичное изображение

В табл. IX.2 включены в основном случаи, когда в уравнениях динамических элементов имеются некоторые упрощения, позволяющие наглядно иллюстрировать структурные преобразования.

Рассмотрим каждый из этих случаев. Схемы будем различать по индексу и номеру столбца (1—3).

Каскадные схемы (а — в). Входной элемент задан уравнением с приведенной левой частью, и выходной элемент описывается уравнением с приведенной правой частью. Уравнения динамических элементов запишем сначала во временной области в общей форме:

где входное воздействие задано процессом установленной формы, но с произвольным смещением Ф относительно момента являющегося началом изменения переменных коэффициентов системы. Решение уравнения (IX. 136) обозначено . Решение уравнения (IX.137) на входной единичный импульс называется приведенной весовой функцией , так как вся правая часть уравнения (IX. 137) сведена в одну функцию На схеме структурные свойства элементов записаны по аналогии с рис. IX. 1, ж

в виде функций , характеризующих прямые и обратные связи в исходных детализированных структурах, соответствующих этим звеньям.

Перейдем теперь от прямой структуры (табл. IX.2) к сопряженной структуре Согласно правилам преобразования к сопряженной форме начинать надо со второго элемента и его уравнения в сопряженной форме:

где

его решением служит параметрическая приведенная весовая функция

На структурной схеме получение функции связано с преобразованием отображающим детализированную сопряженную структуру с обратными связями.

Далее следует обратиться к элементу (IX. 136); его реакция на смещенный импульс определится из формулы

Правая часть этой формулы получена на основе дифференцирующих свойств импульсов высокого порядка.

Переход к рабочему интервалу дает сопряженное уравнение

Детализированная структура, соответствующая этой формуле, не имеет обратных связей, что отмечено индексом в символе преобразования Последовательность преобразований сигнала в сопряженной схеме обратна последовательности преобразований в прямой схеме

Для получения полной параметрической весовой функции на выходе сопряженной схемы в уравнении (IX. 140) вместо одного импульса надо подставить реакцию на него второго элемента, т. е. , что дает

Итак, два уравнения (IX.138) и (IX. 141) отображают преобразования импульса сопряженной схемой в области второго временного аргумента .

Допустим далее, что из уравнения (IX. 138) после -преобразования в явной форме найдена приведенная параметрическая передаточная функция тогда преобразования импульса в области изображения можно отобразить на параметрической структуре Теперь остается перейти к -изображениям в формуле (IX. 141). Для этого надо задать коэффициенты в форме конкретных функций. Так, при задании коэффициентов степенными рядами

можно в формуле (IX. 141) сначала преобразовать по Лапласу приведенную весовую функцию, получив а затем учесть добавочные операции:

дифференцирование этой параметрической передаточной функции по аргументу в связи с умножением оригиналов на степень аргумента ;

умножение на постоянные для второго временного аргумента функции

умножение на соответственно кратности дифференцирования в области оригинала;

двукратное суммирование согласно формулам (IX. 139) и (IX. 140).

Итак,

Все эти преобразования в области комплексного аргумента могут быть обозначены общим символом переводящим приведенную параметрическую передаточную функцию в полную

Это преобразование записано на схеме в верхней цепочке. Весовая функция такой системы получается на выходе цепочки при задании на входе схемы импульса Изображение реакции в заданной точке наблюдения на любой входной процесс установленной формы с произвольным рабочим интервалом составит

Это домножение на изображение входного процесса показано на структурной схеме слева внизу, т. е. в конце цикла

преобразования -изображений. Таким образом, в параметрической структурной схеме последовательность участия элементов в преобразованиях изображений обратна последовательности, имеющейся в блочной схеме в области временного аргумента и соответствует последовательности, имеющейся в сопряженной структуре Если речь идет только об общей параметрической передаточной функций схемы, то расположение входа и выхода не принципиально, что видно из сравнения рис. и Если входной элемент в схеме а содержит только один безынерционный коэффициент при то из суммы выражения (IX. 143) следует использовать только одно слагаемое при

При задании коэффициента трансцендентной функцией, например после реверса аргумента

коэффициент распадается на произведение двух функций с независимыми аргументами. В этом случае -преобразование следует определить по сомножителю в области оригинала, что дает в области изображений Для экспоненциального масштаба получаем

Двухкаскадная схема со стационарным входным элементом. Во временной области сигнал согласно схеме преобразуется постоянным звеном в сигнал по формуле свертки

и имеет -изображение

поскольку его величина в момент наблюдения зависит только от рабочего интервала. Поэтому первый этап преобразования достаточно просто изображается на входе прямой структуры , на выходах сопряженной структуры и параметрической структурной схемы Далее, в области первого и второго временных аргументов снова свойства переменных звеньев отображены через сокращенные символы детализированных структур одновременно с прямыми и обратными связями для схемы для сопряженной схемы

Операция объединяет две отдельные операции имеющиеся на схемах и

Для области изображений (рис. IX. 1, з) имеем параметрическое изображение реакции

или с учетом выражения (IX. 148)

На структурной схеме показана последовательность преобразования изображений звеньями также в обратном по сравнению со схемой порядке соответственно правилам преобразований к сопряженной форме.

Входной переменный элемент с приведенной левой частью. Условия задания аналогичны схеме но с другими исходными уравнениями:

Второй элемент можно представить в виде двух элементов с приведенными уравнениями, включенными согласно схеме

Уравнения (IX. 150) и (IX. 153) могут быть объединены в одно прямой подстановкой, которая для импульсного входа будет иметь

Проводя дифференцирование произведений под знаком внутренней суммы по формуле Лейбница, получим

Внесем теперь коэффициенты под общий символ трех сумм и используем правила умножения производной от импульса на непрерывную функцию при одновременном реверсе аргумента что изменяет и вид функции

Если снова переход от одного импульса к сложной функции понимать как -преобразование, то это же преобразование остается для перехода от функции к функции к т. е.

При переходе к -изображениям в произведении функций должны быть выделены сомножители, являющиеся известными функциями от . Это можно осуществить, например, при разложении указанных произведений в ряды по степеням 0 аналогично выражению (IX. 142), тогда получим связь между изображениями:

показанную на схеме для импульсного и для произвольного входов.

В простейшем случае, если звено 1 характеризуется только переменным коэффициентом усиления

предыдущая формула несколько упрощается, т. е.

Если произведение коэффициентов содержит не только степени , но и другие функции второго аргумента, то для перехода от используются дополнительные формы -преобразования.

Согласно-параллельная схема (г). Согласно-параллельная схема преобразуется в сопряженную схему и затем в структурную схему путем перехода от весовых функций звеньев к их параметрическим передаточным функциям и изменениям связей согласно правилам преобразований к сопряженной форме. При подаче на вход схемы единичного импульса, имеющего единичное изображение, изображение реакции на выходе будет параметрической передаточной функцией согласно-параллельной схемы, которая легко свертывается к виду

Двухкаскадная схема из входного переменного элемента и группы выходных дифференцирующих параллельно включенных элементов (д). Зададимся уравнениями элементов

В уравнении (IX. 158) поделим все коэффициенты на младший коэффициент левой части

где нормированные коэффициенты обозначены

Далее произведем однократное дифференцирование

тогда, рассматривая как самостоятельную функцию, из выражения (IX. 161) можно найти параметрическую передаточную функцию

Заметим теперь, что в уравнении (IX. 161) при имеется коэффициент , снова освобождаемся от этого коэффициента путем нормирования уравнения (IX.161), что дает

где

Следующее дифференцирование выражения (IX. 163) приводит к результату

Обозначая из последнего выражения можно найти новую параметрическую передаточную функцию в виде

Далее, нормируя выражение (IX. 165) и проводя дифференцирование, можно аналогичным путем найти следующую параметрическую передаточную функцию:

где

Общая параметрическая передаточная функция схемы на основании выражения (IX. 159) будет иметь вид

По выведенным формулам построены временная структура сопряженная и параметрическая структурная схема Нетрудно заметить, что присоединение даже одного дифференцирующего звена к переменной системе требует сложных аналитических преобразований уравнений системы для получения общей структуры. При более сложных схемах, чем общее представление о системе возможно получить только на основе аналитических преобразований, которые могут сочетаться со структурными представлениями.

Следует отметить, что все структурные преобразования схем систем с постоянными коэффициентами, основанные на принципе прямого дублирования, сохраняются и для переменных систем.

Структурные преобразования, требовавшие в случае постоянных систем инверсного дублирования, проводятся и для переменных систем. В этом случае также появляются инверсные операции.