5. ПРИМЕР ПОСТРОЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКОГО КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА

Построим логарифмический корневой годограф одноконтурной системы, имеющей в разомкнутом состоянии передаточную функцию

Сначала строятся логарифмические амплитудная и фазовая характеристики при изменении вдоль радиальной прямой (рис. XVIII. 14). В качестве поправки к асимптотической логарифмической амплитудной характеристике в окрестности излома, вызванного квадратичным трехчленом знаменателя, используется кривая, полученная удвоением ординат кривой (рис. XVIII.5) и зеркальным отражением ее относительно оси абсцисс (см. поправку прямой А — А, рис. XVIII. 14). Необходимость зеркального отражения вызывается тем, что квадратичный трехчлен находится в знаменателе функции (XVI 11.24).

Фазовая характеристика состоит из прямых, параллельных оси абсцисс, отстоящих друг от друга и от оси абсцисс на расстоянии, кратном 180°. Поскольку имеет место второй случай взаимного расположения прямой и точек, изображающих сопряженные комплексные корни трехчлена знаменателя (XVIII.24), расстояние высокочастотной асимптоты фазовой характеристики трехчлена от оси абсцисс определяется формулой (XVIII.23) и, как нетрудно видеть из рис. XVIII. 11, в, равно нулю. Поправки к фазовой характеристике трехчлена взаимно

уничтожаются. Действительно, причем в качестве поправки берется кривая на рис. XVII 1.7, а в качестве поправки зеркальное отражение этой кривой относительно оси абсцисс.

Таким образом, приходим к выводу, что квадратичный трехчлен, фигурирующий в выражении функции не оказывает какого-либо влцяния на протекание фазовой характеристики этой функции, если независимая переменная изменяется вдоль радиальной прямой Выделив утолщенной линией участки логарифмической амплитудной характеристики которым соответствует фазовый сдвиг (где — целое нечетное число), получим действительные ветви логарифмического корневого годографа, изображающие действительные отрицательные корни замкнутой системы. На рис. XVIII. 14 показаны две действительные ветви: левая и правая Правая ветвь имеет точку минимума и точку максимума Она является началом комплексной ветви логарифмического корневого годографа, идущей вверх. Как было показано выше в § 3, эта комплексная ветвь асимптотически стремится к вертикали, пересекающей ось абсцисс при частоте излома вызванного квадратичным трехчленом, причем указываемый вдоль этой ветви параметр стремится к относительному коэффициенту демпфирования

Точка минимума действительной ветви является началом другой комплексной ветви логарифмического корневого годографа, идущей вниз. Для того чтобы определить примерное расположение этой комплексной ветви, построим логарифмические амплитудную и фазовую характеристики функции для радиальной прямой т. е. обычные логарифмические частотные характеристики Они также показаны на рис. XVIII.14, где и характеристики Отметив точку пересечения фазовой характеристики с прямой — 180° и произведя снос этой точки на график амплитудной характеристики получим точку комплексной ветви логарифмического корневого годографа (с отметкой Соединив эту точку с точкой имеющей отметку получим примерное расположение участка комплексной ветви, изображающей пару комплексных сопряженных корней замкнутой системы с отрицательной вещественной частью.

Для уточнения положения этого участка комплексной ветви построим логарифмические амплитудную и фазовую характеристики при изменении например, вдоль радиальной прямой (см. рис. XVIII. 14). При изменении вдоль этой радиальной прямой имеет место первый случай расположения корней квадратичного трехчлена и радиальной прямой (рис. XVIII.11, а). Построим характеристики и произведем перенос точки кривой которой соответствует , на график логарифмического корневого годографа.

(кликните для просмотра скана)

зультате этого получим точку комплексной ветви, имеющую отметку

Аналогично может быть найдено точное положение других точек комплексных ветвей логарифмического корневого годографа. Проследим по логарифмическому корневому годографу на рис.

XVIII. 14 изменение корней замкнутой системы для различных коэффициентов усиления этой системы в разомкнутом состоянии.

Для очень малых коэффициентов усиления, например при замкнутая система имеет два простых действительных отрицательных корня и пару комплексных сопряженных корней с параметрами При т. е. дальнейшем сдвиге оси абсцисс на графике логарифмической характеристики кверху, корни замкнутой системы, как это и должно быть, стремятся к полюсам передаточной функции разомкнутой системы. Если коэффициент усиления возрастает (ось абсцисс характеристики опускается вниз), то комплексные корни приобретают больший коэффициент демпфирования и при переходят в двукратный действительный корень, равный абсциссе точки взятой с обратным знаком. При дальнейшем увеличении двукратный действительный корень переходит в простые действительные корни; например, при замкнутая система имеет четыре действительных отрицательных корня Последующее увеличение сближает корни и при они сливаются в двукратный действительный, равный абсциссе точки взятой с обратным знаком.

Увеличивая и далее коэффициент усиления переводим двукратный действительный корень в пару комплексных сопряженных корней изображаемых комплексной ветвью Когда коэффициент усиления становится равным замкнутая система оказывается на границе устойчивости, так как и комплексные корни делаются чисто мнимыми.

Дальнейшее увеличение переводит замкнутую систему в область неустойчивости, т. е. обусловливает переход пары комплексных сопряженных корней в правую полуплоскость.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)