17. ИМПУЛЬСНАЯ ПЕРЕХОДНАЯ ФУНКЦИЯ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ (СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ)
Рассмотрим линейную нестационарную систему, описываемую линейным дифференциальным уравнением с переменными коэффициентами:
и предположим, что 
Уравнение (VII. 156) можно записать в сокращенном виде:
где через 
обозначены операторы 
В соответствии с общим определением импульсной переходной функцией или весовой функцией 
нестационарной линейной системы называется общее решение уравнения (VII. 156) или (VII. 156а) при воздействии в виде дельта-функции 
приложенного в момент 
и нулевых или однородных начальных условиях в момент 
при 
Итак, дифференциальное уравнение, определяющее функцию 
имеет вид
Рис. VII. 12. Импульсная переходная функция 
линейной нестационарной системы
В отличие от стационарной системы, в которой импульсная переходная функция 
зависит только от одной переменной, нестационарная система имеет импульсную переходную функцию 
зависящую от двух переменных: текущего момента времени или момента наблюдения 
и момента приложения 
воздействия в виде дельта-функции. Это объясняется тем, что свойства нестационарной системы изменяются во времени, а поэтому реакция системы на воздействие в виде импульса, естественно, зависит от момента его приложения 
а не только от текущего момента времени 
Импульсные переходныефункции 
реальных нестационарных систем удовлетворяют следующему основному условию:
называемому условием физической осуществимости нестационарной системы. Так же, как и в случае стационарной системы, равенство (VII. 158) означает, что реакция 
реальной физической системы не может предшествовать, вызвавшей ее причине 
Кроме того, функция 
часто является абсолютно интегрируемой функцией
Условие (VII. 159) называют условием устойчивости. Она свидетельствует о том, что функция 
при достаточно больших 
и любых 
стремится к нулю. Импульсная переходная функция 
графически может быть представлена [рис. (VII.12)]
в виде поверхности, ограниченной прямой 
от этой прямой согласно выражению (VII. 158)] функция 
обращается в нуль.
Ввиду того, что для линейных нестационарных систем справедлив принцип суперпозиции, решение уравнения (VI 1.156) при любом воздействии 
можно выразить через импульсную переходную функцию. Действительно, воздействие вида 
вызывает в системе реакцию 
Следовательно, воздействие
вызовет в системе, согласно принципу суперпозиции, реакцию
Если 
при 
то, учитывая условие (VII. 158) вместо (VII. 160), можно написать
Интеграл (VII.161), определяющий выход 
нестационарной системы через ее вход 
иногда называют интегралом суперпозиции, или интегралом свертки. Это выражение показывает, что импульсная переходная функция 
нестационарной системы может рассматриваться как ее универсальная динамическая характеристика.
