5. КРУГОВЫЕ ДИАГРАММЫ

Вещественная и мнимая круговые диаграммы [5], [9]. Графический способ нахождения частотных характеристик замкнутой системы по амплитудно-фазовой характеристике может быть основан том, что в плоскости строится сетка кривых, позволяющая привести в соответствие каждой точке этой плоскости (в случае прохождения через нее амплитудно-фазовой характеристики) определенное значение той или иной частотной характеристики замкнутой системы.

Уравнение этой кривой для случая вещественной частотной характеристики согласно формуле (VIII.61) имеет вид

где — некоторое заданное значение

После несложных преобразований на основании формулы (VIII.67) получим

Последнее выражение является уравнением окружности в прямоугольных координатах с центром, расположенным на расстоянии

от начала координат, и радиусом

Построим семейство окружностей, задаваясь различными значениями (рис. VIII.6), которое мы условимся называть вещественной круговой диаграммой, а значения отмеченные на вещественной круговой диаграмме, будем именовать индексами.

Предположим теперь, что построена амплитудно-фазовая характеристика исследуемой системы в тех же координатах . Рассмотрим какую-либо точку А (рис. VIII.7), находящуюся на амплитудно-фазовой характеристике и в то же время принадлежащую окружности вещественной круговой диаграммы с индексом (в данном случае

Для того чтобы найти при со, соответствующем точке А на не располагая вещественной. круговой диаграммой, нужно было бы подставить значения прямоугольных координат этой точки в формулу (VIII.62) и произвести соответствующие вычисления. Но для всех точек рассматриваемой окружности результат этих вычислений уже известен и равен ее индексу Отсюда ясно, что если амплитудно-фазовая характеристика пересекает при некоторой частоте одну из окружностей (VIII.68) вещественной круговой диаграммы, то это означает, что ордината частотной характеристики при этой частоте равна тому значению индекса в формуле (VIII.68), которому эта кривая соответствует. В этом и заключается простое правило построения вещественной частотной характеристики замкнутой системы по амплитудно-фазовой характеристике.

Заметим, что все окружности (VIII.68) пересекают вещественную ось в точке причем прямая, в которую они вырождаются при проходящая через эту точку параллельно оси ординат (рис. VIII.6 и рис. VIII.7), делит всю плоскость на две области; правая область соответствует значениям меньшим единицы, а левая — значениям большим единицы. Область, в которой индексы являются отрицательными, ограничивается окружностью, проходящей через начало координат и

(кликните для просмотра скана)

точку Уравнение этой окружности, для которой очевидно, имеет вид

Аналогичным образом может быть найдена сетка кривых, позволяющая определить по амплитудно-фазовой характеристике мнимую частотную характеристику замкнутой системы.

Для получения правила построения этой сетки кривых найдем на плоскости геометрическое место точек, соответствующее заданному значению мнимой частотной характеристики замкнутой системы:

Рис. VIII.7. Определение вещественной частотной характеристики по амплитудно-фазовой характеристике при помощи вещественной круговой диаграммы

Уравнение этой кривой, имеющее вид

после несложных преобразований можно привести к виду

Последнее выражение является уравнением окружностей с центрами, расположенными на прямой, параллельной мнимой оси V, проходящей через точку Центры окружностей, имеющих радиус

располагаются вдоль этой прямой на расстоянии

от вещественной оси

Сетка окружностей, соответствующая уравнению (VIII.73) и изображенная на рис. VIII.6 и VIII.8, может быть названа мнимой круговой диаграммой. Значения для которых построены окружности мнимой круговой диаграммы, условимся называть индексами этой диаграммы.

Построив на листе прозрачной бумаги рассмотренные выше круговые диаграммы и наложив его на амплитудно-фазовую характеристику, легко найти частотные характеристики замкнутой системы

Рис. VIII.8. Вещественная и мнимая круговые диаграммы вблизи критической точки

Амплитудная и фазовая круговые диаграммы [1]. Они представляют собой кривые на плоскости соответствующие геометрическим местам точек

При помощи рассуждений, аналогичных тем, которые были использованы при построении вещественной круговой диаграммы, можно показать, что уравнение кривой (VIII.76) имеет вид

Уравнение (VIII.78) является уравнением окружности, имеющей радиус

и центр в точке

на оси

Амплитудная и фазовая круговая диаграмма изображена на рис. VIII.9. При центр окружности приближается к точке а радиус окружности стремится к нулю. При радиус равен бесконечности и окружность превращается в прямую, пересекающую ось в точке Все окружности, которым соответствуют значения индексов М 1, расположены слева от этой прямой, а все окружности с индексами справа от нее.

Рис. VIII.9. Амплитудная и фазовая круговая диаграмма

Рис. VIII. 10. Фазовая круговая диаграмма

Точно так же можно показать, что кривые постоянных значений являются окружностями с центрами на прямой , проходящими через начало координат и точку (рис. VIII .10). Координаты центров окружностей фазовой круговой диаграммы определяются формулами

Обратные вещественная и мнимая круговые диаграммы. Иногда при нахождении частотных характеристик замкнутой системы оказывается удобным исходить не из обычной а из обратной амплитудно-фазовой характеристики

Согласно формуле (VIII.61), связь между функцией и функцией имеет вид

Пусть

тогда, подставляя последнее выражение в формулу (VIII.83) и отделяя вещественную часть от мнимой, получим

Полученные выражения определяют вещественную и мнимую частотные характеристики замкнутой системы по ее вещественной и мнимой обратным частотным характеристикам в разомкнутом состоянии. Далее можно показать, что геометрическое место точек на плоскости обратной передаточной функции соответствующее заданному постоянному значению вещественной частотной характеристики замкнутой системы, определяется уравнением

являющимся уравнением окружности с центром, расположенным на расстоянии

от начала координат, и с радиусом

Сетка такого рода окружностей изображена на рис. VIII. 11. Точно так же геометрическое место точек на плоскости соответствующее заданному постоянному значению мнимой частотной характеристики замкнутой системы, определяется уравнением

представляющим уравнение окружности с центром, расположенным в точке с координатами и с радиусом

Ниже приведено весьма простое правило построения вещественной и мнимой круговых диаграмм на плоскости соответственно

(кликните для просмотра скана)

по вещественной и мнимой круговым диаграммам на плоскости (рис. VIII.6 и VIII.11).

Для того чтобы найти вещественную круговую диаграмму на плоскости по вещественной круговой диаграмме на плоскости необходимо лишь, не изменяя вида самой диаграммы, заменить отмеченные на ней значения индексов индексами, равными

Мнимая круговая диаграмма на плоскости может быть получена из мнимой круговой диаграммы на плоскости при помощи простого изменения знака индексов

Это следует из сравнения выражений (VIII.68), (VIII.73) и (VIII.87), (VIII.90). Действительно, легко видеть, что выражение (VIII.68) сводится к (VIII.87), если в нем заменить соответственно через а величину — через

Точно так же выражение (VIII.73) сводится к формуле (VIII.90), если заменить через через —