3. СВЯЗЬ Д-РАЗБИЕНИЯ С КРИТЕРИЯМИ УСТОЙЧИВОСТИ

Кривые, которые приходится строить при использовании критерия устойчивости Михайлова и амплитудно-фазового критерия устойчивости, можно рассматривать как границы Д-разбиения по специально подобранным параметрам и, таким образом выработать общую точку зрения на разные критерии устойчивости.

Амплитудно-фазовый критерий устойчивости. Пусть уравнение замкнутой цепи автоматического регулирования записано в виде

тогда характеристическое уравнение системы

Рассмотрим семейство полиномов

где — комплексное число.

Очевидно, уравнение (XIII. 4) можно получить из уравнения (XIII. 5), положив Найдем область устойчивости полиномов (XIII. 5). Для этого построим Д-разбиение по параметру Решим уравнение (XIII. 4) относительно

Полагая найдем

Придавая значения от до построим границу Д-разбиения (рис. XIII. 4) для случая астатической системы, когда полином содержит множитель . Поэтому при кривая подходит к началу координат. По условию степень больше степени , поэтому при кривая уходит в Заштриховав кривую, определяем область, которая соответствует полиномам, имеющим больше всего корней слева от мнимой оси (на рис. XIII. 4 она покрыта вертикальной штриховкой). Для определения условий, при которых данная область соответствует области устойчивости, возьмем граничную точку и соответствующий ей полином Его корни и являются корнями полинома (XIII. 5) при

Рис. XIII.4. Амплитудно-фазовая характеристика системы

Предположим сначала, что разомкнутая система устойчива, т. е. все корни уравнения расположены слева от мнимой оси, или что оно имеет один нулевой корень, а все остальные корни расположены слева от мнимой оси. В обоих случаях точке плоскости лежащей в бесконечности справа, соответствует полином, у которого в плоскости корней либо все корни лежат слева от мнимой оси, либо же слева от мнимой оси лежат все корни, кроме одного, расположенного на самой мнимой оси. Поэтому в этих двух случаях точке, лежащей в заштрихованной области, соответствует полином (XIII. 5), у которого все корни лежат слева от мнимой оси, т. е. заштрихованная область является областью устойчивости.

На действительной оси выделяется участок, лежащий в этой области устойчивости (на рис. XIII. 4 — участок оси расположенный в заштрихованной области).

Очевидно, что если точка соответствующая характеристическому уравнению (XIII. 4), лежит на этом участке, то система, имеющая характеристическое уравнение устойчива.

Но для этого необходимо и достаточно, чтобы граница Д-разбиения, как раз и являющаяся амплитудно-фазовой характеристикой системы, не охватывала точки .

Из рис. XIII. 4 легко получить и обобщение амплитудно-фазового критерия устойчивости на случай, когда характеристическое уравнение разомкнутой системы содержит любое число, например корней с положительной действительной частью. В этом случае на плоскости точке соответствует полином, имеющий в плоскости корней корней справа от мнимой оси, и для того, чтобы точка принадлежала области устойчивости, надо, чтобы при передвижении вдоль действительной оси из граница Д-разбиения пересекалась раз в сторону штриховки. Надо помнить лишь, что амплитудно-фазовая характеристика должна быть дополнена ее зеркальным отображением относительно действительной оси.

Критерий А. В. Михайлова. Пусть характеристическое уравнение рассматриваемой системы имеет вид уравнения (XIII. 4).

Рис. XIII.5. Годограф Михайлова

Введем параметр и рассмотрим более общий класс уравнений

частным случаем которого (при является уравнение (XIII. 4).

Положим в уравнении (XIII. 6) и построим Д-разбиение по параметру (рис. XIII. 5). Область А, заштрихованная на рис. XIII. 5 вертикальной штриховкой, может рассматриваться как область устойчивости. Если точка лежит внутри этой области и последняя является областью устойчивости, то полином (XIII. 6) имеет все корни слева от мнимой оси и система устойчива.

Воспользуемся формулой (XIII. 3). В данном случае Для того чтобы точка А принадлежала области устойчивости, должно равняться нулю. Поэтому, используя формулу (XIII. 3), найдем или

Если рассматривать изменение не от до , а только от до то получим как этого и требует критерий Михайлова.

Строя Д-разбиение по иным параметрам характеристического уравнения, получим любое число иных критериев устойчивости.