8. ВЛИЯНИЕ РАСПОЛОЖЕНИЯ НУЛЕЙ И ПОЛЮСОВ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ НА ЕЕ ПОЛОСУ ЧАСТОТ

Выше было исследовано, как влияет расположение нулей и полюсов замкнутой системы на основные временные показатели переходной характеристики — длительность и выброс Но часто определенные требования предъявляются также к величине ее полосы пропускания частот .

В тех случаях, когда известен спектр воздействий, которые система регулирования должна отрабатывать, ширина полосы частот системы, очевидно, должна быть не меньше величины спектра воздействий. С другой стороны, не должна быть заметно больше практической ширины спектра воздействий, так как в противном случае система окажется излишне чувствительной к помехам. Помехи обычно имеют более широкий спектр частот, чем полезный сигнал. Поэтому часто полоса частот системы ограничена сверху, а не снизу.

Определим, чему равна полоса пропускания частот элементарной системы второго порядка без нулей, а затем выясним для системы порядка влияние нулей и недоминирующих полюсов на величину полосы частот системы оолл, которую кратко будем записывать .

Для астатической системы второго порядка передаточная функция замкнутой системы

Амплитудно-частотная характеристика этой системы будет

Полосой пропускания условимся называть частоту при которой значение в раз меньше, чем или, другими словами, частоту, при которой усиление снижается на 3 дб по сравнению с усилением при нулевой частоте (рис. XVII.13). Приравнивая выражение (XVII.78) при

и разрешая полученное уравнение относительно получим [23]

График приведен на рис. XVI 1.11. При относительном коэффициенте демпфирования

Из выражения (XVI 1.79) видно, что при уменьшении возрастает т. е. полоса пропускания расширяется. При имеем

при

На корневых годографах чаще всего наносятся значения общего коэффициента усиления системы К. Для рассматриваемой астатической системы второго порядка К представляет собой добротность системы (по скорости). Выразим полосу частот непосредственно через

Рис. XVII. 13. Амплитудная характеристика замкнутой системы

Передаточная функция разомкнутой системы, соответствующая будет

Так как добротность определяется как отношение установившейся скорости изменения выходной величины к входной, когда система разомкнута, т. е.

то из формулы (XVI 1.80) имеем

Используя выражение (XVII.79), получим

Формулы (XVII.79) и (XVII.82) содержат два параметра, которые известны в каждой точке корневых годографов. При корневом годографе, показанном на рис. XVI 1.7, полоса частот расширяется при увеличении быстрее, чем растет так как при этом также происходит уменьшение .

Перейдем к определению влияния нулей и цедоминирующих полюсов на величину полосы частот Для этого рассмотрим наиболее типичный случай, когда доминирующими являются два комплексно-сопряженных полюса замкнутой системы, а остальные

полюсы, так же как и нули, будем для простоты считать действительными (см. рис. XVII.9).

Передаточная функция, соответствующая рис. XVII.9,

или

Частотная характеристика системы в этом случае будет

При имеем тогда

Из выражения (XVI 1.83) следует, что далекие от начала координат плоскости нули и полюсы т. е. такие, при которых не влияют на амплитудно-частотную характеристику и полосу так как при этом соответствующие множители оказываются мало отличающимися от 1.

Следовательно, на амплитудно-частотную характеристику и полосу пропускания частот имеют влияние только нули и полюсы близкие к доминирующим, т. е. модули которых имеют порядок величины или или меньше их.

Нули и полюсы влияют противоположным образом, так как нули стоят в числителе, а полюсы — в знаменателе выражения (XVII.83). Поэтому достаточно выяснить влияние одного нуля,

близкого к началу координат плоскости результат обобщается для всех нулей и недоминирующих полюсов.

На рис. XVII. 14 показана характеристика (кривая соответствующая первому множителю выражения (XVII.83), которая при имеет ординату кривая 2 соответствует множителю , где близкий нуль.

Приравнивая

замечаем, что при так как

а это возможно только при

Результирующая амплитудно-частотная характеристика представлена кривой 3. Итак, близкие к началу координат плоскости вещественные нули расширяют полосу пропускания частот тем больше, чем они ближе к этому началу. Близкие к началу вещественные (недоминирующие) полюсы уменьшают полосу частот тем больше, чем они ближе к началу плоскости

Рис. XVII. 14. Амплитудная характеристика замкнутой системы и ее составляющие

Подставив в выражение (XVI 1.83) , где — частота, при которой амплитудно-частотная характеристика имеет пик убедимся, что близкие к началу координат плоскости вещественные нули увеличивают пик М. Близкие недоминирующие полюсы уменьшают пик М, т. е. указанные нули и полюсы влияют на величину пика М в том же направлении, что и на величину выброса а (перерегулирования) переходной функции Этим обстоятельством и объясняется то, что М — критерий качества теоретически справедливый для системы второго порядка, для которой М является функцией единственного параметра практически и не без успеха используется для оценки качества порядка. Таким образом, просматривая корневые годографы, опытный расчетчик может судить (качественно) об изменении полосы пропускания частот сол и пика М амплитудно-частотной характеристики при изменении параметра К.

Выбрав определенное значение совместимое с заданными

техническими условиями, нетрудно по формуле (XVII.83) построить амплитудно-частотную характеристику замкнутой системы и определить точное значение полосы частот а если это нужно, то и пика М.

Пример 3. Определим ширину полосы пропускания системы, поведение которой при изменении общего коэффициента усиления К было рассмотрено в начале данного параграфа. При передаточная функция системы

Амплитудно-частотная характеристика этой системы

Полоса частот соответствующая первому множителю выражения (XVII.84), равна [по формуле (XVII.79)]

где для доминирующих полюсов.

Полоса частот рассматриваемой системы меньше, чем поскольку полюс ближе к началу координат плоскости чем нуль Второй вещественный полюс как значительно удаленный от начала, почти не влияет на величину полосы пропускания

Рис. XVII. 15. Определение полосы пропускания систем при различных расположениях нулей и полюсов

Так как полюс и нуль Довольно близки друг к другу, не может быть намного меньше, чем .

Действительно, из графика амплитудно-частотной характеристики, построенного по выражению (XVI 1.84), (рис. XVII. 15 сплошная кривая), получаем Штриховой линией показана кривая для системы второго порядка с без нулей.