ГЛАВА XII. КРИТЕРИИ И МЕТОДЫ АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕАРИЗОВАННЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЙ

В предыдущей главе было показано, что необходимым и достаточным условием устойчивости системы является отрицательность действительных частей всех корней характеристического уравнения. Если изображать эти корни точками на комплексной плоскости, то необходимое и достаточное условие устойчивости, очевидно, заключается в том, чтобы все корни были расположены в левой части комплексной плоскости (рис. XII. 1). Следовательно, исследование устойчивости системы сводится к нахождению знаков действительных частей корней характеристического уравнения или, что эквивалентно, к определению расположения этих корней на комплексной плоскости.

Рис. XII.1. Расположение корней характеристического уравнения устойчивой системы.

Фактическое вычисление корней весьма просто лишь для характеристических уравнений первой и второй степени. Общие выражения для корней уравнений третьей и четвертой степени известны, но они громоздки и практически мало удобны. Уравнения более высоких степеней вообще не имеют общих выражений для корней. Поэтому важное значение приобретают правила, которые позволяют исследовать устойчивость системы, минуя вычисление корней. С помощью этих правил, называемых критериями устойчивости, не только устанавливают, устойчива система или нет, но и выясняют влияние тех или иных параметров и структурных изменений в системе на устойчивость.

Существуют различные формы критериев устойчивости. Но математически эти формы критериев устойчивости эквивалентны, так как все они определяют условия, при которых корни характеристического уравнения лежат в левой части комплексной плоскости.

Ниже рассмотрены критерии устойчивости и даны их простейшие обоснования. Последние получены на основе теоремы Коши и принципа аргумента.