8.3.2. ДИСПЕРСИЯ ОЦЕНКИ

Для того чтобы найти дисперсию оценки , необходимо знать статистические свойства промежутков времени Дкоторые в сумме дают интервал . К сожалению, получить такую временную статистику для случайного процесса очень трудно. Однако соответствующее выражение для дисперсии величины в общем виде все же можно получить, исходя из следующих эвристических соображений.

Как видно из соотношения (8.64), дисперсия оценки равна

где оценка величины Дисперсия оценки этой доли времени, полученной по выборке объемом независимых значений случайной величины, имеет вид [8.3]

Подставляя выражение (8.79) в (8.78) и полагая, что можно получить приближенную формулу для дисперсии оценки плотности вероятности

где число должно быть определено. Далее, как следует из доказанной в разд. 10.3.1 теоремы о дискретном представлении процесса во временной области, реализацию случайного процесса с полосой частот В, заданную на интервале времени можно полностью описать дискретными значениями. Эти дискретных значений не обязательно, разумеется, будут статистически независимы. Тем не менее для любого данного стационарного случайного процесса, обладающего свойствами эргодичности, каждая его реализация содержит независимых выборочных значений (степеней свободы), где с — постоянная. Таким образом, из формулы (8.80) следует, что

Постоянная с зависит от вида ковариационной функции процесса и от величины интервала дискретности. Для ограниченного по частоте непрерывного белого шума, как показывают результаты расчетов, Если из ограниченного по частоте белого шума производится выборка дискретных значений, то результаты расчетов дают для этого случая постоянную , как это и следовало ожидать на основании соотношения (8.26).