12.3. Среднее значение нестационарного процесса

Рассмотрим задачу оценивания переменного во времени среднего значения нестационарного процесса. Располагая ансамблем реализаций нестационарного процесса оценку среднего значения в момент времени получают усреднением по ансамблю:

Оценки будут различаться при различном выборе реализаций Следовательно, при каждом необходимо изучить степень приближения оценки к истинному среднему значению. Математическое ожидание оценки равно

где

есть истинное среднее значение рассматриваемого нестационарного процесса в момент Таким образом, есть несмещенная оценка при всех независимо от Дисперсия оценки есть

Рис. 12.4. Измерение нестационарного среднего значения.

Среднее значение нестационарного случайного процесса можно оценивать с помощью специальной аппаратуры или на ЭВМ (рис. 12.4). Построение этой оценки требует двух основных операций. Первая — получение и запоминание каждой реализации как функции Реализация может быть записана в аналоговой форме при всех в диапазоне или дискретно с помощью того или иного способа дискретизации. После выполнения этой операции для всех реализаций выполняется вторая операция — усреднение по ансамблю, для чего реализации суммируются и делятся на Если каждая реализация состоит, скажем, из отсчетов, то общее число содержащихся в памяти машины величин равно

12.3.1. НЕЗАВИСИМЫЕ РЕАЛИЗАЦИИ

В большинстве практических приложений выборочных функций, используемых для расчета статистически независимы. Поэтому и здесь реализации полагаются независимыми. Раскрывая скобки в равенстве (12.14), как при выводе соотношения (4.9), найдем, что дисперсия оценки в момент есть

где дисперсия нестационарного процесса Таким образом, дисперсия оценки стремится к нулю при стремлении к бесконечности, так что есть состоятельная оценка при всех

Доверительный интервал для нестационарного среднего значения можно построить по оценке пользуясь методом, описанным в разд. 4.4.

Для момента времени доверительный интервал с уровнем доверия есть

Здесь несмещенная оценка среднеквадратичного отклонения процесса в момент определяемая в соответствии с формулой (4.12) в виде

и есть -ная точка -распределения Стьюдента с степенями свободы (см. разд. 4.2.3). Заметим, что при достаточно большом размере ансамбля формула (12.16) справедлива и для негауссовых процессов. Это утверждение следует из центральной предельной теоремы (см. разд. 3.3.1), которая прямо относится к вычислению среднего значения нестационарного процесса по формуле (12.11).

12.3.2. КОРРЕЛИРОВАННЫЕ РЕАЛИЗАЦИИ

Рассмотрим общий случай, когда выборочные функции нестационарного случайного процесса попарно коррелированы, так что при любом

Величина называется нестационарной пространственной взаимной ковариационной функцией в момент связывающей все пары реализаций удовлетворяющие условию Как следует из формулы (12.18), замена на дает

При независимых выборочных функциях и при (что соответствует

При формула (12.18) принимает вид

Эти соотношения охватывают и рассмотренный в предыдущем разделе случай независимых реализаций.

При коррелированных реализациях формула (12.15) в общем виде запишется следующим образом:

Теперь попытаемся избавиться от двойной суммы в формуле (12.22). Индекс принимает значения . Всего имеется слагаемых. Так как то слагаемых в этой двойной сумме можно расположить в таком порядке, чтобы выделить два члена вида для которых четыре члена вида для которых членов вида для которых Таким способом можно получить более простое выражение:

Для проверки заметим, что

Подстановка формулы (12.23) в (12.22) дает

Из равенства (12.20) следует, что при независимых реализациях формула (12.25) сводится к виду (12.15), что может служить дополнительным подтверждением справедливости равенства (12.25). Формула (12.25) представляет собой важное обобщение равенства (12.15), и ее следует использовать вместо (12.15) при коррелированных реализациях.

Следует упомянуть частный случай полной зависимости между всеми реализациями. Тогда для любых к

Формула (12.25) принимает вид

Таким образом, при полностью коррелированных реализациях дисперсия оценки не уменьшается.

В тех физических ситуациях, когда между отдельными реализациями существует частная корреляция, количественные результаты можно получить, основываясь на приводимом ниже примере.

ПРИМЕР 12.2. ДИСПЕРСИЯ ОЦЕНОК СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ ПРИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ МЕЖДУ РЕАЛИЗАЦИЯМИ. Предположим, что взаимные ковариационные функции имеют экспоненциальный вид. Получим для этого случая некоторые результаты,

характеризующие различные степени корреляции. Итак, пусть

где — положительные постоянные. Определим соответствующую выборочную дисперсию оценок нестационарного среднего значения. Согласно формуле (12.25), эта выборочная дисперсия имеет вид

Для подсчета суммы в правой части положим

Тогда

Теперь

Подстановка этого выражения в формулу для дисперсии дает

Этот результат можно использовать для построения семейства кривых, отвечающих различным значениям Постоянную с для практического использования этих кривых можно оценить экспериментально.

12.3.3. АНАЛИЗ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ РЕАЛИЗАЦИЙ

Как уже отмечалось в разд. 12.1, на практике для анализа нестационарного процесса зачастую имеется всего одна реализация. В таких случаях нестационарное среднее значение оценивают обычно по одной реализации с помощью той или иной операции, эквивалентной фильтрации низких частот. Для некоторых классов нестационарных процессов такой прием может дать полезные результаты. Пусть, например, нестационарный процесс вида

где детерминированная функция и случайный процесс с не

зависящим от времени нулевым средним значением. Тогда среднее значение в момент времени есть

Если предполагается, что функция меняется медленнее низкочастотных составляющих процесса то ее можно отфильтровать из смеси с низкочастотным фильтром по одной реализации Такую операпик можно осуществить несколькими способами, в том числе:

а) рекурсивным или нерекурсивным низкочастотным фильтром (см. разд. 11.1.3);

б) подгонкой к степенного многочлена (см. разд. 4.8 и обсуждение задачи удаления тренда в разд. 11.1.2);

в) оцениванием среднего по отдельным отрезкам реализации (усреднением по коротким интервалам).

Получаемые таким путем оценки среднего будут в любом случае содержать систематическую ошибку, зависящую от вырезывающей частоты низкочастотного фильтра (степени подгоняемого многочлена или длины интервала усреднения) и от скорости изменения функции

Рассмотрим, например, оценку среднего значения, полученную усреднением по короткому интервалу:

где время усреднения. Легко показать, что

Следовательно, оценка вообще говоря, смещена. Рассуждая таким же образом, как и в разд. 8.3.1, можно получить первое приближение для ошибки смещения в момент в виде

где вторая производная функции по Из формулы (12.32) сразу видно, что ошибка смещения уменьшается по мере уменьшения интервала усреднения Однако, как и в случае стационарного процесса, рассмотренном в разд. 8.2.1, случайная ошибка смещения возрастает с уменьшением Таким образом, при выборе длины интервала усреднения нужно искать компромиссное решение с учетом систематической и случайной ошибок оценки. Наилучшее решение, как правило, находится методом проб и ошибок.