Глава 9. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОШИБКИ ПРИ ОЦЕНИВАНИИ БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ ПАРАМЕТРОВ

В этой главе продолжается начатое в гл. 8 обсуждение ошибок, возникающих при анализе случайных процессов. Основное внимание уделено здесь функциям частоты, характеризующим зависимости между двумя стационарными (эргодическими) случайными процессами. К числу рассматриваемых здесь оценок сравнительно сложных параметров относятся оценки модуля и аргумента функций взаимной спектральной плотности, а также характеристики, возникающие при анализе систем с одним или многими входными и выходными процессами (гл. 6 и 7). В частности, получены формулы для статистических ошибок оценок следующих параметров: частотная характеристика (амплитудная и фазовая); функция когерентности; когерентный спектр выходного процесса; функция множественной когерентности; функция частной когерентности.

9.1. Оценки взаимной спектральной плотности

Рассмотрим определенную формулой (5.66) функцию взаимной спектральной плотности, связывающую два стационарных (эргодических) гауссовых случайных процесса Если реализации и имеют неограниченную длину то односторонний взаимный спектр задается в виде

где финитные преобразования Фурье последовательностей

Таким образом, «несглаженная» (т. е. без усреднения) оценка взаимного спектра, получаемая по реализациям конечной длительности есть

а ее разрешение по частоте имеет вид

Это означает, что спектральные компоненты оцениваются только на дискретных частотах

Как указано в разд. 8.5.1, разрешение по частоте в формуле (9.4) определяет потенциальную ошибку смещения спектральной оценки. Однако в дальнейшем в этой главе будет предполагаться, что длина реализации достаточно велика, так что возможной ошибкой смещения можно пренебречь.

Как и в случае оценивания автоспектра (разд. 8.5.4), «несглаженная» оценка взаимного спектра обладает в большинстве реальных ситуаций неприемлемо большой случайной ошибкой. На практике эту случайную ошибку уменьшают путем вычисления ансамбля оценок по различным (неперекрывающимся, несовместным) реализациям длиной каждая и последующим усреднением результатов. Это дает окончательную сглаженную оценку:

Таким образом, минимальная общая длина реализации, необходимая для получения оценки взаимного спектра, есть Оценки автоспектров получаются из выражения (9.6) при

Функции входящие в формулу (9.6), можно записать через их действительные и мнимые части:

где

Если последовательности и распределены нормально и имеют нулевые средние значения, то функции, заданные формулами (9.8) и (9.9), также будут иметь нормальные распределения с нулевыми средними значениями. Опуская для упрощения обозначений индекс и зависимость от частоты можно записать «несглаженные» оценки спектральной плотности (9.3) в виде

где

Нетрудно убедиться, что для частот определяемых формулой (9.5), из соотношений (9.8) и (9.9) следует, что

Поэтому

Согласно соотношению (3.72), из предположения о гауссовости для любых четырех случайных величин следует, что

Применяя эту формулу, находим, что

Этот результат полууен с учетом равенств

Действуя подобным образом, можно убедиться, что