3.1.2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ

Пусть случайная величина принимает значения из области от до Среднее значение (иначе, математическое ожидание или ожидаемое значение) вычисляется с помощью соответствующего предельного перехода в сумме произведений значений на вероятности наступления этих событий:

Рис. 3.1. Дискретные плотность вероятности и функция распределения: а — плотность вероятности; б - функция распределения.

где математическое ожидание выражения в квадратных скобках по индексу к. Аналогично определяется математическое ожидание действительной однозначной непрерывной функции от случайной величины

гдер плотность вероятности случайной величиных . В частности, взяв получим средний квадрат

Дисперсия определяется как средний квадрат разностих и ее среднего значения, т. е. в этом случае и

По определению, стандартное отклонение случайной величины обозначаемое есть положительное значение квадратного корня из дисперсии. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и среднее значение.

ПРИМЕР 3.2. РАВНОМЕРНОЕ (ПРЯМОУГОЛЬНОЕ) РАСПРЕДЕЛЕНИЕ. Допустим, что эксперимент состоит в случайном выборе точки из интервала включая его конечные точки. В этом примере в качестве значения случайной величины можно взять числовое значение выбранной точки. Соответствующая функция распределения имеет вид

Поэтому плотность вероятности задается формулой

В данном примере вычисление среднего значения и дисперсии по формулам (3.9) и (3.11) дает

Графики функций и приводятся на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Равномерные плотность вероятности и функция распределения: а — плотность вероятности; б - функция распределения.