5.4. Производные случайных процессов

Производная любой данной выборочной функции произвольного случайного процесса определяется как

Существование этого предела можно понимать по-разному. Говорят, что производная существует

1) в обычном смысле, если предел существует для всех реализаций процесса

2) в среднеквадратичном смысле, если

Для стационарных случайных процессов существует в среднеквадратичном смысле тогда и только тогда, когда ковариационная функция имеет производные первого и второго порядков, т. е. существуют .

5.4.1. КОВАРИАЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ

Рассмотрим следующие производные, предполагая, что они существуют и непрерывны:

По определению, для стационарных случайных процессов

Тогда

поэтому

Следовательно,

поскольку должна одновременно быть и положительной, и отрицательной. Соответствующее значение Отсюда следует, что для стационарных случайных процессов

Иначе говоря, формула (5.145) указывает, что в любой момент производная случайного процесса с равной вероятностью принимает положительные и отрицательные значения. Из формулы (5.143) следует, что производная ковариационной функции по совпадает со взаимной ковариационной функцией Максимум ковариационной функции соответствует пересечению оси абсцисс функцией т. е. взаимной ковариационной функцией процессов Пересечение оси абсцисс функцией происходит с отрицательным наклоном (рис. 5.9), т. е.

На практике определять положение точки пересечения обычно проще, чем определять положение максимума.

Покажем теперь, что нечетная функция от напомним, что четная функция По определению,

поэтому

Но по формуле Поэтому соотношение (5.148) принимает вид

Отсюда следует, что нечетная функция от

Рис. 5.9. Примеры производных ковариационных функций: а — исходная функция; б — первая производная; в — вторая производная.

Вторая производная равна

поэтому

Непосредственная проверка показывает, что - четная функция от а именно

При имеем

Ранее было показано, что

Типичные графики показаны на рис. 5.9 для гармонического процесса, где

Полученные результаты обобщаются на производные высших порядков. Например,

При имеем

Таким образом, зная и ее последовательные производные, можно делать выводы о свойствах ковариационных и взаимных ковариационных функций процесса и его последовательных производных и т. д.