1.3. Классификация случайных процессов

Как уже говорилось, процесс, описывающий случайное физическое явление, нельзя задать явной математической зависимостью, поскольку каждое наблюдение этого явления дает невоспроизводимый результат. Другими словами, любое наблюдение дает только один вариант из множества возможных. Рассмотрим, например, напряжение на выходе генератора теплового шума как функцию времени. Получим определенную реализацию зависимости напряжения от времени (рис. 1.8, а). Если одновременно включить второй генератор теплового шума идентичной конструкции, то получим реализацию иного вида (рис. 1.8, б). Более того, сколько бы генераторов теплового шума ни включать, каждый раз получим новую реализацию (рис. 1.8, в). Следовательно, любой генератор порождает только один вариант зависимости напряжения от времени из бесконечно большого числа возможных.

Конкретная реализация процесса, описывающего случайное явление, называется выборочной функцией (или реализацией, если речь идет о наблюдении конечной длительности). Совокупность всех возможных выборочных функций, которые может дать случайное явление, называется случайным или стохастическим процессом. Следовательно, под реализацией

Рис. 1.8. Выборочные функции на выходе генератора теплового шума.

случайного физического явления понимается один из возможных исходов случайного процесса.

Случайные процессы делятся на стационарные и нестационарные. В свою очередь стационарные случайные процессы делятся на эргодические и неэргодические. Дальнейшая классификация нестационарных случайных процессов проводится по особенностям их нестационарностей. Классификация случайных процессов схематически показана на рис. 1.9. Рассмотрим

Рис. 1.9. Классификация случайных процессов.

более подробно содержание и физический смысл всех этих понятий. Точные определения и соотношения приведены в гл. 5 и 12.

1.3.1. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Если физическое явление описывается случайным процессом, то свойство этого явления в принципе можно оценить в любой момент времени путем усреднения по совокупности выборочных функций, образующих случайный процесс. Рассмотрим, например, совокупность выборочных функций (называемую также ансамблем), определяющую случайный процесс, изображенный на рис. 1.10. Среднее значение (первый момент) этого случайного процесса в момент времени можно вычислить, взяв мгновенные значения всех выборочных функций ансамбля в момент времени сложив эти значения и разделив на число выборочных функций. Аналогичным образом ковариацию (смешанный момент) значений случайного процесса в два различных момента времени (эта величина называется ковариационной функцией) вычисляется путем усреднения по ансамблю произведений мгновенных значений в моменты времени Следовательно, среднее значение и ковариационная функция случайного процесса где символ обозначает ансамбль выборочных функций, определяется формулами

в которых суммирование производится в предположении равновероятности всех выборочных функций.

В обшем случае, когда определенные уравнениями (1.10), зависят от момента времени случайный процесс называется нестационарным. В том частном случае, когда не зависят от момента времени случайный процесс называется слабо стационарным или стационарным в широком смысле. Среднее значение слабо стационарного процесса постоянно, а ковариационная функция зависит только от сдвига времени т. е.

Для определения полного набора функций распределения, задающих структуру случайного процесса нужно вычислить бесконечное число моментов и смешанных моментов высших порядков. В том случае, когда все моменты и смешанные моменты инвариантны во времени, случайный процесс называется строго стационарным или стационарным в

Рис. 1.10. Ансамбль реализаций, задающих случайный процесс.

узком смысле. Во многих приложениях проверка слабой стационарности позволяет обосновать строгую стационарность.