11.5.2. ПОДАВЛЕНИЕ ПРОСАЧИВАНИЯ ЧЕРЕЗ БОКОВЫЕ МАКСИМУМЫ

Определенное формулой (11.98) финитное преобразование Фурье функции можно рассматривать как преобразование Фурье заданной на бесконечном интервале функции умноженной на прямоугольное «времен-нбе окно» имеющее вид

Иными словами, реализацию можно рассматривать как произведение (рис. 11.8):

Следовательно, преобразование Фурье функции есть свертка преобразований Фурье функций и (

Преобразование Фурье «прямоугольной» функции и заданной формулой (11.104), есть

График функции показан на рис. 11.9. Заметим, что первый боковой максимум составляет около от главного максимума, а в дальнейшем боковые максимумы спадают со скоростью на октаву. Описанная функция представляет собой основное «спектральное окно», используемое при анализе. Большие боковые максимумы функции обусловливают большое просачивание энергии с частот, далеких от главного максимума спектрального окна, и могут привести к сильным искажениям спектральной оценки, особенно заметным для процессов с узкополосным спектром. Проблема просачивания не возникает при анализе периодических (с периодом процессов, если принять длину реализации равной целому числу периодов, т. е. выбрать . В этом случае коэффициенты Фурье, отвечающие частотам , не могут

Рис. 11.8. Временнбе окно при спектральном анализе.

Рис. 11.9. Прямоугольное окно: а — временное; б - спектральное.

«проникнуть» в главный максимум, поскольку заданная равенством (11.107) функция обращается на этих частотах в нуль. Однако при просачивание энергии происходит и при анализе периодических процессов.

Временнбе сглаживание. Для подавления просачивания обычно используют временные окна, сглаживающие исходную реализацию таким образом, чтобы подавить резкие вариации на ее начальном и конечном участках. Существует множество таких окон, но одно из наиболее ранних и широко используемых — косинусоидальное сглаживающее окно, назынаемое окном Ханна:

Эта функция показана на рис. 11.10, а. Ее преобразование Фурье имеет вид

где задана формулой (11.107). Заметим, что

График функции показан на рис. 11.10, б. Первый боковой

Рис. 11.10. Окно Ханна: а — временнбе; б - спектральное.

максимум спектрального окна Ханна примерно на ниже главного максимума, а скорость спадания боковых максимумов равна на октаву.

Рассмотрим теперь произвольную функцию такую, что не является ее периодом, и пусть

Ее преобразование Фурье есть

Для дискретных значений частоты получаем при

где

Предположим теперь, что в пределах каждой полосы частот шириной функция ведет себя как ограниченный по частоте белый шум. Тогда математическое ожидание произведения вычисленное для любых частот из набора к равно

С учетом этого свойства из (11.113) получаем

при любых Эта величина характеризует потери, вызванные использованием спектрального окна Ханна (11.108) для оценки спектральной плотности при помощи финитного преобразования

Фурье. Поэтому при оценивании спектров по формулам (11.101) и (11.102) выражение (11.100) нужно умножить на масштабный множитель . В частности, при вычислении спектральной плотности по формулам (11.101) и (11.102) и использовании окна Ханна следует принимать

Более подробно вопросы сглаживания разбираются в работах [11.8, 11.9].

ПРИМЕР 11.3. ОШИБКА СПЕКТРАЛЬНОЙ ОЦЕНКИ ЗА СЧЕТ ПРОСА ЧИ-ВАНИЯ ЧЕРЕЗ БОКОВЫЕ МАКСИМУМЫ. Для иллюстрации проблемы просачивания через боковые максимумы при оценивании спектральной плотности рассмотрим две оценки спектра, показанные на рис. 11.11. Они получены по одному и тому же ряду наблюдений над скоростью частиц в лотке, измеренной с помощью лазерного измерителя скорости при возбуждении в лотке стационарных волн в масштабе реального времени. Спектры рассчитывались прия и разрешение по частоте при частоте дискретизации . Единственное отличие этих двух спектральных оценок заключается в том, что оценка, представленная сплошной линией, рассчитана после предварительного сглаживания ряда квадратичной косинусоидальной весовой функцией (окно Ханна), а штриховая — без такого сглаживания.

Из рис. 11.11 ясно, какие ошибки в оценках спектральной плотности может создавать просачивание энергии через боковые максимумы. Видно, в частности, что значения спектральной плотности на частотах вне спектрального максимума завышены за счет просачивания через боковые максимумы вблизи частоты максимума спектра. Заметим, что принятое здесь разрешение по

Рис. 11.11. Сглаженная и несглаженная оценки автоспсктра скорости частиц в моделируемом ветровом волнении. Исследование финансировалось фирмой «Шелл Интернейшнел Петролеум Матсхапей» (Гаага. Нидерланды).

частоте обеспечивает малость ошибки смещения в соответствии с требованиями, поставленными в разд. 8.5. Таким образом, ошибки просачивания могут создавать серьезные проблемы даже при подавлении обычных ошибок смещения, связанных с конечной разрешающей способностью оценок.

Расчет по перекрывающимся отрезкам. Из рис. 11.9 и 11.10 видно, что сглаживание реализации для подавления просачивания через боковые максимумы увеличивает одновременно ширину главного максимума спектрального окна, что приводит к уменьшению разрешающей способности анализа. При использовании окна Ханна ширина полосы пропускания по уровню половинной энергии возрастает примерно на 60%. Обычно такое ухудшение разрешающей способности вполне компенсируется подавлением просачивания энергии с частот, лежащих вне главного максимума. Вместе с тем временнбе сглаживание приводит также к росту изменчивости спектральных оценок. Если анализируемый процесс имеет примерно постоянный по частоте спектр, то сглаживание реализации окном Ханна увеличивает дисперсию получаемой таким путем спектральной оценки примерно вдвое [11.10]. Иными словами, ошибка оценки спектральной плотности, найденной при использовании окна Ханна, есть а не как было показано в гл. 8.

Чтобы уменьшить рост изменчивости оценки за счет временного сглаживания, производимого для подавления просачивания через боковые максимумы, иногда используют прием анализа по перекрывающимся отрезкам реализации. При этом реализация делится не на независимых отрезков , а на перекрывающиеся интервалы

Значение обычно принимают равным 0,5, что приводит, как показано на рис. 11.12, к 50%-ному перекрытию отрезков. Этот прием позволяет восстановить до 90% устойчивости оценки, потерянной при временном сглаживании, но ведет при этом к удвоению числа БПФ, нужных для построения оценки. Более детальное обсуждение этого вопроса содержится в работе [11.10].

Сглаживание корреляционной функции. Другой способ подавления просачивания через боковые максимумы заключается в сглаживании оценки ковариационной функции, а не исходной реализации. Такой подход, называемый иногда корреляционным сглаживанием, почти не увеличивает выборочную изменчивость спектральной оценки и потому позволяет избежать

Рис. 11.12. Последовательность временных окон при анализе по отрезкам с -ным перекрытием.

оценивания по перекрывающимся интервалам. Кроме того, он требует меньшего объема вычислений. Его основные этапы состоят в следующем.

а) По длинной и несглаженной реализации вычисляется оценка двухсторонней спектральной плотности (11.101).

б) С помощью обратного преобразования Фурье вычисляется, как описано в разд. 11.4.2, оценка ковариационной функции (При этом можно пользоваться циклической оценкой.)

в) Эта оценка ковариационной функции сглаживается некоторым окном с весовой функцией и удовлетворяющей условиям и при при ттах

г) Сглаженная оценка односторонней спектральной плотности вычисляется по формуле (5.34) как БПФ функции при (результат следует умножить на 4). Поскольку средний квадрат реализации совпадает со значением ковариационной функции при описанная выше операция не меняет среднего квадрата и потому не приводит к уменьшению значений спектра. Кроме того, при ттах дисперсия спектральной оценки практически не растет, и потому нет необходимости в ее расчете по перекрывающимся интервалам.

При построении спектральной оценки с ковариационным сглаживанием исходный автоспектр приходится вычислять по формуле (11.101) при длине реализации, превышающей величину, необходимую для получения окончательной оценки с заданным разрешением по частоте. Значения оказываются меньшими заданных. Но поскольку окончательная оценка получается как БПФ функции и ее разрешение равно

где — максимальный сдвиг ковариационной функции. Что же касается нормированной случайной ошибки окончательной оценки, то она приближенно описывается формулой

Таким образом, окончательная оценка спектра имеет практически такую же дисперсию, как и оценка, полученная при том же разрешении по частоте

путем временного сглаживания и дальнейшего расчета по перекрывающимся отрезкам.

Как и для временного сглаживания, оценку ковариационной функции часто сглаживают полным косинусоидальным окном Ханна

Применение окна Ханна к оценке ковариационной функции подавляет просачивание через боковые максимумы в меньшей степени, чем при аналогичном сглаживании исходной реализации. Такая операция над ковариационной функцией отвечает спектральному окну, в котором первый боковой максимум на ниже главного максимума, а скорость спадания последующих боковых максимумов равна на октаву. Однако существуют и корреляционные окна, обладающие существенно меньшими боковыми максимумами [11.10].