3.3.4. N-МЕРНОЕ ГАУССОВО (НОРМАЛЬНОЕ) РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Рассмотрим случайных величин возможно, коррелированных. Введем следующие обозначения для средних значений, дисперсий и ковариаций:

Будем говорить, что их совместное распределение является -мерным гауссовым (нормальным), если соответствующая -мерная плотность вероятности имеет вид

где С — ковариационная матрица, элементы которой определены ниже, определитель алгебраическое дополнение С. В явном виде, если

то алгебраическое дополнение произвольного элемента С есть умноженный на определитель матрицы порядка которая получается из матрицы С путем вычеркивания в ней строки и столбца.

Замечательная особенность -мерного нормального распределения заключается в том, что все его свойства определяются исключительно средними значениями и ковариациями При эта функция принимает вид

т. е. представляет собой нормальную плотность, заданную выше формулой (3.48).

При получаем совместную двумерную нормальную плотность вероятности

где коэффициент корреляции случайных величин Заметим, что при некоррелированных т. е. при

откуда следует, что одновременно независимы. Этот результат не имеет места для произвольных распределений.

Аналогичные формулы можно выписать для распределений высших размерностей Для произвольного легко убедиться, что если все различные пары нормально распределенных случайных величин взаимно не коррелированы (т. е. , если только ), то эти случайные величины взаимно независимы в статистическом смысле, т. е.

Важность -мерного нормального распределения в практических задачах, как и одномерного нормального распределения, частично объясняется многомерной центральной предельной теоремой (см. работы [3.2, 3.5]). Эта

теорема утверждает, что при довольно общих условиях векторная сумма большого числа взаимно независимых -мерных случайных величин приближенно распределена согласно -мерному нормальному распределению.

Произвольная -мерная гауссова плотность, определенная формулой (3.62), удовлетворяет равенству

Кроме того, математическое ожидание любой однозначной непрерывной действительной функции от случайных величин имеет

Если то с учетом (3.62) получаем производящую функцию моментов порядка:

Рассмотрим случай четырех гауссовых случайных величин с нулевыми средними значениями и одинаковыми дисперсиями Их ковариации имеют вид где

Пусть задана формулой (3.62). Тогда производящая функция моментов четвертого порядка есть

Непосредственно можно убедиться, что момент четвертого порядка определяется смешанной частной производной четвертого порядка:

Простые, хотя и утомительные вычисления частных производных при дают

Отсюда следует, что момент четвертого порядка равен сумме различных произведений пар моментов второго порядка (ковариаций).

Аналогичные вычисления момента шестого порядка гауссовых случайных величин с нулевыми средними показывают, что момент шестого порядка есть сумма произведений троек моментов второго порядка:

В общем случае, если четное целое число, то состоит из суммы различных произведений, включающих всевозможные

С другой стороны, все моменты нечетного порядка гауссовых случайных величин с нулевыми средними равны нулю, т. е.

если нечетно. Все эти соотношения верны не только для собственно случайных величин но и для любых их линейных преобразований, например преобразований Фурье.

Если средние значения не равны нулю, то аналогичные выражения имеют более сложный вид. Для примера рассмотрим четыре гауссовы случайные величины с одинаковыми ненулевыми средними и одинаковыми дисперсиями Тогда вместо формул (3.71) ковариация при задается формулой

Если

Формула (3.72) верна для четырех случайных величин Поэтому из формул (3.72) и (3.74) имеем

В частности,

Ковариация

где

Поэтому формулу (3.78) можно записать в виде

а формула (3.77) принимает вид

Аналогичным образом вычисляются и моменты шестого порядка при

Задачи

(см. скан)

(см. скан)