Глава 5. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

В этой главе обсуждаются элементарные и более сложные понятия теории стационарных случайных процессов, образующие основу для решения задач измерения и анализа таких процессов; изложение следует книгам [5.1, 5.2]. В главе приводятся формальные определения из теории стационарных случайных процессов, а также основные свойства ковариационных функций и спектральных плотностей. Формулируются результаты, относящиеся к эргодическим случайным процессам и производным от случайных процессов. Нестационарные случайные процессы рассматриваются в гл. 12.

5.1. Основные понятия

Случайный процесс (иначе, временной ряд или стохастический процесс), обозначаемый символом это совокупность действительнозначных (или комплекснозначных) функций, которую можно охарактеризовать ее вероятностной структурой. Для удобства в последующем изложении переменная будет интерпретироваться как время. Каждая отдельная функция где переменная, а к фиксировано, называется выборочной функцией. С практической точки зрения выборочную функцию (или некоторый отрезок выборочной функции конечной длины) можно считать наблюдаемым результатом отдельного эксперимента. Возможное число экспериментов определяется выборочным пространством индексов к, причем последнее может быть счетным или несчетным. Для любого и любых фиксированных моментов времени значения процесса представляют собой случайных величин, зависящих от индекса к. Предполагается, что для любого существует полностью определенная -мерная плотность вероятности. Пример совокупности выборочных функций, образующих случайный процесс, показан на рис. 1.10.

Отдельная выборочная функция случайного процесса, вообще говоря, не характеризует случайный процесс в целом. Однако ниже будет показано, что при определенных условиях в особом классе эргодических случайных процессов необходимую статистическую информацию о случайном процессе в целом можно получить с помощью соответствующего анализа единственной выборочной функции. Для двух случайных процессов аналогичная задача заключается в оценке совместных свойств двух случайных процессов путем соответствующего анализа произвольной пары выборочных функций

Рассмотрим два произвольных случайных процесса . В первую очередь представляют интерес средние значения по ансамблю в произвольный фиксированный момент времени где и

чайные величины от аргумента к. Такие средние значения определяются формулой (3.8):

Вообще говоря, эти средние значения зависят от времени и должны оцениваться особо для каждого момента Поэтому при имеем

Следующие важные статистические характеристики — это корреляционные функции, определенные для произвольных фиксированных моментов времени

В общем случае эти величины различны для различных комбинаций Заметим, что при

Следовательно, корреляционные функции и совпадают с обычными дисперсиями процессов в фиксированный момент в то время как представляет собой ковариацию случайных величин Как и выше, результат зависит от

По ансамблю реализаций можно определить и другие статистические характеристики, зависящие от трех и более моментов времени. Тем самым вероятностная структура случайных процессов будет описываться все более детально. Если имеют для фиксированного момента двумерное гауссово распределение, то каждая из величин тоже подчиняется гауссову распределению. В этом случае определенные выше средние значения и ковариационные функции полностью описывают вероятностную структуру процесса. По этой причине в данной главе

основное внимание уделено этим двум статистическим характеристикам и их связи со спектральными плотностями.

Если средние значения вместе с корреляционными функциями принимают одинаковые значения при всех фиксированных значениях (т. е. не зависят от выбора начала отсчета), то случайные процессы называются слабо стационарными. Если всевозможные распределения, связанные с не зависят от выбора начала отсчета времени, то такие процессы называются строго стационарными. Поскольку средние значения и корреляционные функции определяются только одномерными и двумерными функциями распределения, то отсюда следует, что класс строго стационарных случайных процессов входит в класс слабо стационарных случайных процессов. Однако в случае гауссовых случайных процессов слабая стационарность влечет строгую, поскольку все характеристики этих процессов определяются средним значением и корреляционной функцией. Следовательно, для гауссовых случайных процессов оба понятия стационарности совпадают.