8.6. Выбор длины реализации
Выражения для ошибок, приведенные в разд. 8.2-8.5, позволяют оценить статистическую точность оценок различных параметров, полученных после завершения эксперимента. Желательно также уметь использовать эти формулы для предсказания точности оценок, которые предполагается получить в планируемых экспериментах, и, в частности, для того, чтобы выбрать длину реализации, необходимую для получения оценки с заданной степенью точности. Действительно, приведенные выше формулы связывают длину реализации с ошибкой оценки каждого параметра. Однако они содержат обычно и другие величины, которые до завершения эксперимента остаются неизвестными. Поэтому непосредственное использование этих формул как основы для выбора длины реализаии неоправданно. Придется сделать некоторые допущения, основанные на априорном знании свойств процессов и (или) на инженерной интуиции.
Например, дисперсия оценки среднего квадрата гауссова процесса связана формулой (8.41) с длиной реализации 
через ковариационную функцию и среднее значение процесса. Если бы можно было допустить, что все наши процессы ведут себя как ограниченный по частоте белый шум со спектральной шириной В и нулевым средним значением, то длина реализации, необходимая для получения оценки с заданной нормированной среднеквадратичной ошибкой определялась бы по формуле (8.46) в виде 
. К сожалению, такое допущение практически мало пригодно даже в качестве первого приближения.
Все же существует один параметр, при оценивании которого можно зачастую сделать разумные допущения и получить практически приемлемую формулу, связывающую длину реализации и ошибку оценки. Это — оценка спектральной плотности. Из формулы (8.146) видно, что случайная часть нормированной среднеквадратичной ошибки спектральных оценок зависит лишь от длины реализациии 
разрешения по частоте 
(в предположении, что спектральная плотность мало меняется в пределах полосы частот шириной 
и что процесс является гауссовым). Это означает, что длина реализации, требуемая для получения такой спектральной оценки с заданной нормированной случайной ошибкой, определяется в виде 
где 
известный параметр расчетного метода, а не подлежащий определению параметр процесса. Остается лишь правильно выбрать разрешение по частоте 
Возвращаясь к формуле (8.146), видим, что систематическая часть ошибки спектральной оценки зависит в первую очередь от разрешения по частоте 
Однако существенную роль в определении смещения играет и величина 
определяющая «изрезанность» спектра в пределах полосы 
Поэтому можно выбрать некоторое предельное значение производной 
и затем связать ошибку смещения с шириной полосы 
Это делают обычно на основе общих физических соображений относительно
решаемой задачи. Рассмотрим, например, частный случай процесса, представляющего собой реакцию некоторой резонирующей физической системы при условии, что каждое решение, дающее резонанс, можно описать простой системой второго порядка, заданной уравнением (2.19). Если предположить, что в пределах полосы шириной 
относительно каждой резонансной частоты спектр входного процесса почти постоянен, то следует ожидать, что спектр реакции системы вблизи каждой резонансной частоты будет иметь 
гдес — некоторая постоянная, 
задается в механических единицах формулой (2.24). Ошибку смещения оценки спектральной плотности на резонансных частотах можно тогда вычислить, как показано в примере 8.5, через отношение разрешения по частоте 
к полосе пропускания по уровню половинной энергии 
частотной характеристики 
Приведенное выше обсуждение вопроса о выборе длины реализации при оценивании функции спектральной плотности особенно важно по двум причинам. Во-первых, во многих инженерных приложениях спектр представляет собой наиболее важный параметр случайного процесса. Во-вторых, в сравнении с оценками других параметров, рассмотренными в этой главе,
Таблица 8.1. (см. скан) Длина реализации и число усреднений для основных оценок
получение спектральной оценки с заданной величиной ошибки предъявляет наиболее жесткие требования к длине реализации. Это последнее обстоятельство легко проверить, сопоставив выражения для ошибок, относящиеся к оценкам спектральной плотности и к оценкам других параметров. Легко видеть, что знаменатели формул, определяющих ошибки оценок других параметров, обычно содержат множители, превышающие величину 
необходимую для получения спектральной оценки с приемлемым разрешением.
Различные формулы для ошибок оценок, приведенные в этой главе, содержат либо произведение 
либо произведение 
где 
(вместо Т) - общая длина реализации, В — общая спектральная ширина процесса (по аналогии с ограниченным по частоте белым шумом с заданной дисперсией), а 
разрешение по частоте при вычислении оценки спектра. Вместо использования произведения 
оценки функций частоты можно характеризовать числом усреднений 
что и сделано при описании методов вычисления в 
Используя числовой параметр 
для числа независимых оценок, можно переписать и другие формулы, приведенные в этой главе.
В табл. 8.1 даны выражения для минимальной длины реализации 
или минимального числа независимых усреднений 
или 
необходимые для получения оценок с заданной ошибкой 
выраженные через другие параметры самого процесса или метода анализа. Предполагается, что ошибки смещения пренебрежимо малы, так что нормированная случайная ошибка совпадает с нормированной среднеквадратичной ошибкой, приводимой в табл. 8.1.
Задачи
(см. скан)
