10.5.3. ПРОВЕРКА ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ СПЕКТРОВ

В предыдущем разделе отмечалось, что при расчете оценок спектральной плотности по двум или более статистически независимым реализациям

следует проверять эквивалентность этих оценок. Ниже показано, каким образом может быть выполнена эта проверка.

Если число усреднений достаточно велико, например то оценка спектральной плотности имеет приблизительно нормальное распределение. В разд. 8.5 показано, что среднее значение оценки и ее дисперсия соответственно равны

Следовательно, соответствующий доверительный интервал для функции с уровнем доверия 1 — а, который можно найти при измерении величины приближенно выражается в виде

где - -ная точка нормированного гауссова распределения. При выводе соотношения (10.21) предполагалось, что и поэтому

Логарифмическое преобразование оценки т. е. величина имеет распределение, более близкое к нормальному, чем исходное распределение. Среднее значение и дисперсия величины составляют

Таким образом, дисперсия в этой формуле не зависит от частоты. Теперь доверительный интервал для величины соответствующий уровню доверия 1 — а, приближенно можно выразить в виде

Это соотношение можно получить непосредственно из формулы (10.21) и найти таким образом эвристическое объяснение зависимостей (10.23) и выводе неравенства (10.25) предполагалось, что поэтому

Рассмотрим теперь две различные оценки спектральной плотности полученные при различных условиях, например по двум разным реализациям или по двум разным участкам одной и той же реализации. Требуется определить, эквивалентны ли в статистическом смысле эти два спектра в одной и той же полосе частот шириной

Предположим, что каждая из двух оценок спектральной плотности получена при разрешающей способности так что ширина спектра В делится на полос, т. е.

Будем считать далее, что число усреднений для этих оценок равно соответственно причем время усреднения (длина записи) для каждой оценки может быть различным, хотя разрешение по частоте будет одним и тем же. С учетом соотношений (10.23) и (10.24) выборочные распределения логарифмов оценок в полосе частот можно приближенно выразить с помощью формул

где нормально распределенная случайная величина со средним значением и дисперсией Теперь если две исследуемые реализации обладают одинаковой спектральной плотностью то из формулы (10.28) следует, что

Следовательно, статистика

подчиняется -распределению с степенями свободы, т. е.

Используя формулу (10.30), можно проверить гипотезу о том, что Область принятия гипотезы есть

где а — уровень значимости коитешя (см. разд. 4.6).