6.1.2. ФУНКЦИИ ОБЫЧНОЙ КОГЕРЕНТНОСТИ

Если и отличны от нуля и не содержат дельта-функций, то функция когерентности входного процесса и выходного процесса — действительная величина вида

где G - односторонние спектры, двусторонние теоретические спектры, определенные выше. Из формулы (5.85) следует, что для всех функция когерентности удовлетворяет неравенствам

Для исключения дельта-функций на нулевой частоте перед использованием последних двух формул из случайных процессов следует вычесть их ненулевые средние. Заметим, что функция когерентности аналогична квадрату коэффициента корреляции из формулы (5.16).

Линейные системы с постоянными параметрами удовлетворяют формулам (6.16) и (6.17); после подстановки в формулу (6.27) получаем

Следовательно, в идеальном случае линейной системы с постоянными параметрами и полностью определенными входом и выходом функция когерентности равна единице. Если и совершенно не связаны, то функция когерентности равна нулю. Если же функция когерентности больше нуля, но меньше единицы, то на практике возможны следующие три ситуации:

а) в измерениях присутствует внешний шум;

б) система, связывающая не является строго линейной;

в) выход зависит помимо и от других входных процессов.

Для линейных систем функцию уху можно интерпретировать как относительный вклад входного процесса в средний квадрат выходного процесса на частоте . С другой стороны, величина задает долю среднего квадрата на частоте не связанную с

ПРИМЕР 6.5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФУНКЦИИ КОГЕРЕНТНОСТИ. Рассмотрим самолет, пролетающий через зону атмосферной турбулентности (рис. 6.3). Пусть входной процесс это вертикальные пульсации скорости потока в метрах в секунду, измеряемые датчиком, который расположен в носовой части самолета, а выходной процесс вертикальное ускорение в долях измеряемое акселерометром, расположенным в центре тяжести самолета. Результирующая функция когерентности и спектральные плотности реальных данных показаны на рис. 6.4 и 6.5. В данном

Рис. 6.3. Пролет самолета через зону атмосферной турбулентности.

случае спектры вычислялись в полосе частот от 0,1 до 4,0 Гц с разрешением 0,05 Гц при длине реализации около 10 мин.

Рис. 6.4. показывает, что скорость пульсаций на входе и ускорение самолета на выходе обладают относительно большой когерентностью, равной 0,8...0,9 в полосе частот примерно от 0,3 до 2,0 Гц. Однако правее и левее этой полосы функция когерентности убывает. На низких частотах вертикальное ускорение самолета в основном определяется нагрузками,

Рис. 6.4. (см. скан) Функция когерентности между скоростью пульсаций воздуха и результирующим ускорением. Эти данные были получены в исследованиях, проведенных в исследовательском центре NASA в Лэнгли (Хэмптон, Вирджиния) по контракту NAS-I-8538.

вызванными действиями пилота, управляющего самолетом, а не влиянием атмосферной турбулентности. Поэтому убывание функции когерентности на низких частотах отражает, вероятно, вклад в выходной процесс других входных процессов, отличных от наблюдаемого входного процесса На высоких частотах выходной спектр резко убывает за счет характера реакции самолета, подобной действию низкочастотного фильтра, а также из-за убывания в этой полосе частот спектра входного процесса, как видно из рис. 6.5. С другой стороны, фоновый шум оборудования сбора и регистрации данных обычно не уменьшается с ростом частоты. Поэтому уменьшение функции когерентности на высоких частотах определяется, вероятно, наличием в наблюдениях постороннего шума. На этом пример 6.5 заканчивается.

По любым двум реализациям всегда можно вычислить функцию обычной когерентности, используя Значения этой функции указывают на степень линейной зависимости одной реализации от другой. Однако это не обязательно означает, что между двумя реализациями существует причинно-следственная связь. О причинности будет сказано в разд. 6.2.1.

В применениях функции когерентности к задачам оценки линейных частотных характеристик ее можно рассматривать как отношение двух различных оценок квадрата амплитудной характеристики системы. Одна из них задается формулой (6.16):

а другая — формулой (6.17):

Их отношение и равно функции когерентности

На практике вычисленные по формуле (6.32) значения всегда будут лежать между нулем и единицей. Оценка амплитудной характеристики по формуле (6.30), использующая значения автоспектров выходного и входного процессов, всегда смещена, за исключением того случая, когда функция когерентности равна единице. В то же время оценка амплитудной характеристики по формуле (6.31), использующая значения спектра входного процесса и взаимного спектра входного и выходного процессов, смещена только при воздействии постороннего шума на входной процесс, однако если посторонний шум воздействует только на выходной процесс, то эта оценка несмещенная. В частности, формула (6.31) дает несмещенную оценку

Рис. 6.5. (см. скан) Спектральные плотности скорости пульсаций потока и результирующего ускорения. Эти данные были получены в исследованиях, проведенных в исследовательском центре NASA в Лэнгли (Хэмптон, Вирджиння) по контракту NAS-I-8538.

амплитудных характеристик системы с несколькими входами, если, входные процессы не коррелированы. Такие задачи рассматриваются в гл. 9, где также показано, что точность оценок частотных характеристик увеличивается по мере приближения значения функции когерентности к единице.

Функции когерентности сохраняются при линейных преобразованиях. Именно, предположим, что требуется вычислить функцию когерентности процессов причем эти процессы непосредственно не наблюдаются. Допустим, однако, что наблюдаются два других процесса относительно которых на основании физических соображений можно утверждать, что связан точной линейной зависимостью с Тогда функция когерентности между равна исходной функции когерентности между Докажем это.

Наличие точной линейной связи означает, что существуют такие гипотетические частотные характеристики и возможно, неизвестные, что Тогда при любом значении имеем

Следовательно,

Этот результат важен для многих приложений [6.1].