5.2.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СПЕКТРОВ ЧЕРЕЗ ФИНИТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

Второй способ определения спектральных плотностей по своему характеру тоже является математическим. Он основан на финитном преобразовании Фурье реализаций исходного процесса. Именно этот способ в настоящее время используется для вычисления спектральных плотностей.

Рассмотрим пару реализаций стационарных случайных процессов Определим на конечном интервале времени функцию

где

Величины это финитные преобразования Фурье реализаций соответственно, величина, комплексносопряженная . Такие преобразования Фурье по конечному интервалу существуют для реализаций широкого класса случайных процессов, в то время как преобразования Фурье по бесконечному интервалу обычно не существуют, поскольку теоретически стационарный процесс определен на всей оси времени.

Распространенная ошибка состоит в том, что по аналогии с периодическими процессами взаимную спектральную плотность определяют по формуле

Это определение не годится в случае стационарных случайных процессов общего вида, поскольку при стремлении к бесконечности оценка величины не становится лучше в статистическом смысле, т. е. она не состоятельна (по определению разд. 4.1). Вспомним теперь, что левая часть зависит еще и от индекса к. Правильное определение дает следующее выражение:

где это, разумеется, математическое ожидание, взятое по множеству индексов к. Спектральные плотности это просто частные случаи формулы (5.59). Докажем эквивалентность определений (5.59) и (5.27).

Обозначив во избежание недоразумений переменные интегрирования разными символами, перепишем формулу (5.56) следующим образом:

Преобразуем теперь область интегрирования путем замены переменных на где Приведенный ниже чертеж показывает, как изменятся пределы интегрирования.

Интегрируя по паре переменных вместо пары переменных получим

Легко убедиться, что обе части соотношения (5.61) равны Поэтому такое преобразование области интегрирования позволяет переписать формулу (5.60) в виде

По определению, взаимная ковариационная функция равна математическому ожиданию

Взяв математическое ожидание от обеих частей формулы (5.62), получим

В пределе, когда стремится к бесконечности, имеем

Это и есть искомое утверждение (5.59), поскольку правая часть формулы (5.56) равна согласно определению (5.27).

Заметим, что замена на соответствующие приводит к следующим формулам:

Для вычислений по этим формулам применяются реализованные на ЭВМ процедуры быстрого преобразования Фурье, описанные в гл. 11. На практике длина реализации всегда конечна, так как предельный переход осуществим только теоретически. Математическое ожидание также всегда берется только по конечному ансамблю, поскольку невозможно получить бесконечный набор реальных данных.