Глава 7. МНОГОМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ

В этой главе результаты гл. 6 обобщаются на системы с несколькими входами. Как и ранее, предполагается, что все реализации принадлежат стационарным случайным процессам с нулевыми средними значениями, а системы линейны и имеют постоянные параметры. Изучаются системы с несколькими входными процессами и одним или несколькими процессами на выходе. Для этих систем определяются функции множественной и частной когерентности. Приводятся итерационные вычислительные методы, обладающие большей эффективностью по сравнению с матричными методами и позволяющие естественным образом раскладывать такие системы на элементарные подсистемы. Разнообразные системы, изученные в гл. 6 и 7, образуют набор элементарных моделей, дающий возможность сводить анализ сложных реальных систем к анализу комбинаций элементарных подсистем.

7.1. Системы с несколькими входами и одним выходом

Этот раздел основан на работах и посвящен выводу основных соотношений для систем с несколькими входами и одним выходом. Ниже предлагается ряд подходов к анализу таких систем и интерпретируются полученные результаты. Рассмотрим линейных систем с постоянными параметрами, задаваемых частотными характеристиками На входы систем поступают полностью определенные наблюдаемые входные процессы , которые преобразуются в один наблюдаемый выходной процессор) (рис. 7.1). Относительно коррелированности входных процессов не делается никаких предположений. В шум на выходе включены все отклонения от этой идеальной модели, в том числе ненаблюдаемые входные процессы, нелинейные и нестационарные эффекты и инструментальный шум. Предполагается, что наблюдаются реализации стационарных (эргодических) случайных процессов, из которых предварительно исключены ненулевые средние значения и периодические составляюшие. Системы с несколькими входами и несколькими выходами сводятся к комбинации систем с несколькими входами, но с одним выходом типа изображенной на рис. 7.1.

7.1.1. ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ

Для корректного определения системы с несколькими входами, изображенной на рис. 7.1, нужно потребовать выполнения следующих условий:

1) функция обычной когерентности для любой пары входных процессов не равна единице; в противном случае такие два входных процесса несут избыточную информацию и один из них следует исключить из модели; это условие позволяет сводить изучение систем с распределенным входом к анализу систем с дискретными входами;

Рис. 7.1. Система с несколькими входными и одним выходным процессами.

2) функция обычной когерентности любого входного процесса и процесса на выходе не равна единице; в противном случае остальные входные процессы не влияют на выходной процесс и систему можно считать простой системой с одним входом и одним выходом;

3) функция множественной когерентности между любым входным процессом и остальными процессами не равна единице; в противном случае этот входной процесс является линейной комбинацией остальных входных процессов; такой входной процесс не несет новой информации и должен быть исключен из модели;

4) значение функции множественной когерентности между выходным процессом и данными входными процессами должно быть достаточно большим, скажем более 0,5, для того чтобы выполнялись теоретические предпосылки и вытекающие из них выводы; в противном случае может оказаться, что не учтены какие-то существенные входные процессы или нелинейные эффекты; порог 0,5 выбран произвольно, практически он должен выбираться исходя из инженерного и статистического анализа конкретных условий и всего объема имеющихся данных.

Предположим, что в данной системе можно одновременно наблюдать реализации входных и выходного процессов. Предположим также, что все ошибки выбора модели и статистические ошибки, присущие вычисляемым величинам, минимизированы с помощью тшательной калибровки и выбора

параметров процедур обработки данных. В частности, требуются хорошие оценки действительных спектральных плотностей всех процессов и комплекснозначных взаимных спектральных плотностей для любых пар процессов. Эти спектральные величины используются для решения таких задач:

1) разложения спектра выходного процесса на составляющие, имеющие физический смысл и задающие вклад наблюдаемых входных процессов;

2) определения оптимальных линейных систем с постоянными параметрами, связывающих каждый входной процесс с выходным и минимизирующих долю спектра выходного процесса, не обусловленную линейными операциями над наблюдаемыми входными процессами.

Выходной процесс представляется в виде суммы ненаблюдаемых выходных процессов и шума

В терминах финитных преобразований Фурье имеем

Каждая выходная функция удовлетворяет соотношению

Следовательно, для системы, изображенной на рис. 7.1, основное соотношение в частотной области имеет вид

где любые и можно вычислить по наблюдениям По этим данным требуется вычислить частотные характеристики систем и другие их параметры, причем все операции выполняются в частотной области.

Финитные преобразования Фурье отдельных реализаций и длины равны

Согласно формулам (5.66) и (5.67), односторонние спектральные и взаимные спектральные плотности определяются как

Вместо односторонних спектров для которых при можно использовать двусторонние спектры (см. разд. 5.2.1). Все формулы, приведенные в этой главе, верны как для так и для Отношение двух величин типа совпадает с аналогичным отношением двух величин типа Ниже, как и в гл. 6, используются односторонние спектры

На практике приходится иметь дело с оценками величины (7.6) и (7.7), поскольку конечно, а математическое ожидание вычисляется по конечному набору реализаций. Далее, при цифровой обработке реализаций (см. гл. 10 и 11) вычисления дают результаты только для определенных дискретных частот. Для любой такой частоты оценка величины (обозначим ее обычно вычисляется по формуле

где число различных (непересекающихся) реализаций длиной каждая, так что общая длина реализации равна . В гл. 8 доказывается, что для уменьшения систематической ошибки значение должно быть по возможности большим, а для уменьшения случайной ошибки следует увеличивать Поэтому при фиксированном приходится искать компромисс между этими двумя ошибками.

В случае необходимости можно выписать аналогичные соотношения во временной области через свертки весовых функций соответствующих величинам Вместо уравнения (7.3) будем иметь

где нижний предел интегрирования равен нулю, если только системы физически осуществимы. Такие свертки и их аналоги для ковариационных функций значительно сложнее соответствующих спектральных соотношений и поэтому в дальнейшем использоваться не будут. Ковариационные соотношения не содержат в явном виде информации о зависимости искомых характеристик от частоты. Хотя такая информация неявно присутствует в ковариационных функциях, вряд ли будет оправдано вычисление их без особой на то необходимости, тем более что прямое вычисление спектральных характеристик гораздо эффективнее.