8.2.3. ДИСПЕРСИЯ

Оценка дисперсии может быть получена как

Очевидно, что

где

Поэтому

В отличие от оценок среднего значения и среднего квадрата, оценки дисперсии, полученные в виде (8.48), будут смещены. В частности, в случае ограниченного по частоте гауссова белого шума подстановка уравнений (8.36) и (8.30) в (8.50) показывает, что

Следовательно, систематическая ошибка равна

Этот результат согласуется с формулой

Вернемся теперь к важному частному случаю ограниченного по частоте гауссова белого шума, для которого дисперсии оценок определены формулами (8.43) и (8.32) соответственно. В гауссовом случае при выражение для четвертого момента имеет, согласно (3.82), вид

При этом принято, что Пренебрегая членами порядка величины из формулы (8.30) получаем, что

Следовательно,

Подстановка формул (8.32), (8.43) и (8.57) в (8.52) дает

Этот результат не зависит от

Нормированная случайная ошибка есть

Этот результат справедлив и при в то время как формулой (8.46) для оценки среднего квадрата можно пользоваться лишь при Оба утверждения справедливы для процессов типа ограниченного по частоте гауссова белого шума. Из соотношения (8.10) можно теперь получить соответствующий результат для оценки среднеквадратичного отклонения а не дисперсии

Заметим, что рис. 8.1 отвечает также формулам (8.59) и (8.60) для нормированных случайных ошибок оценок дисперсии и среднеквадратичного отклонения при произвольном