9.3. Оценки для моделей с многими входными процессами

Рассмотрим более сложную модель с многими входными процессами и одиим процессом на выходе (рис. 9.8). Все реализации должны измеряться одновременно в единой системе отсчета времени. На первом этапе анализа следует заменить эту модель показанной на рис. 9.9 моделью с условными входными процессами (см. гл. 7). Соответствующие итерационные вычислительные алгоритмы описаны в разд. 7.3. Операция усреднения необходима только для расчета «сглаженных» оценок спектров и взаимных спектров по исходным данным. Все прочие характеристики вычисляются по описанному ниже алгоритму (для простоты обозначений зависимость от частоты в дальнейшем опущена).

Вначале вычислим исходный набор оценок условных спектральных плотностей

Рис. 9.8. Многомерная система с произвольными входными процессами и одним процессом на выходе.

Рис. 9.9. Многомерная система с условными входными процессами и одним процессом на выходе.

где

Исходные оценки нужны только на этом этапе. Полученные результаты используем для вычисления второго набора оценок спектральных плотностей которые находятся тем же способом, что и ранее:

Здесь

Оценки используются для получения аналогичным способом третьего набора оценок спектральных плотностей и операция повторяется до тех пор, пока не будут найдены все нужные оценки спектральных плотностей. Оценки функций частной и множественной когерентности и связанных с ними характеристик ищутся путем алгебраических операций над оценками спектров.

Оценку функции множественной когерентности можно искать в виде

Здесь символом х обозначены все входные процессы от до Спектр шума на выходе системы есть

Он содержит вычисленные ранее оценки обычной и частной когерентности. Следовательно,

Оценка множественного когерентного спектра выходного процесса определяется как сумма процессов, поступающих на выход системы (см. рис. 9.9):

Заметим, что эта формула дает еще один способ оценивания

Значение задается здесь правой частью формулы (9.100).

9.3.1. ОЦЕНКИ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВЕННОЙ КОГЕРЕНТНОСТИ

Оценка функции множественной когерентности описывает обе системы, представленные на рис. 9.8 и 9.9. Если сглаженные оценки автоспектров и взаимных спектров вычисляются по исходным данным при числе усреднений, равном то по аналогии с уравнением (9.82) имеем

Эта формула отличается от (9.82) лишь заменой обычной функции когерентности на на

9.3.2. ОЦЕНКИ МНОЖЕСТВЕННОГО КОГЕРЕНТНОГО СПЕКТРА ВЫХОДНОГО ПРОЦЕССА

Пусть оценка множественного когерентного спектра выходного процесса, вычисленная либо как произведение на либо в соответствии с формулой (9.100). По аналогии с (9.73) имеем

9.3.3. МОДЕЛИ С ОДНИМ УСЛОВНЫМ ВХОДНЫМ ПРОЦЕССОМ и ОДНИМ ВЫХОДНЫМ ПРОЦЕССОМ

Модель, показанную на рис. 9.9, можно разбить на последовательность простых моделей с одним условным входным процессом и одним выходным процессом. Спектральная интерпретация такого представления дана на рис. 9.10. Первая модель на этом рисунке совпадает с моделью с одним входом и одним выходом, рассмотренной в разд. 9.2. Последующие системы представляют собой ее непосредственное развитие, причем их связь с первой системой очевидна. Вычисление «сглаженных» оценок условных характеристик на каждом последующем этапе требует вычитания оценок, полученных на предыдущем этапе, так что число независимых усреднений на каждом последующем шаге уменьшается на единицу. Таким образом, если оценка находится при числе усреднений то опенкам отвечают числа усреднений и вообще, оценке соответствует усреднений. Ниже приведены формулы

Рис. 9.10. (см. скан) Системы с одним условным входным процессом и одним процессом на выходе.

для случайных ошибок, отвечающих оценкам параметров простых систем с условными процессами на входе и выходе при таком уменьшении числа усреднений.

9.3.4. ОЦЕНКИ ФУНКЦИЙ ЧАСТНОЙ КОГЕРЕНТНОСТИ

По аналогии с соотношением (9.82) имеем

В общем случае

9.3.5. ОЦЕНКИ ЧАСТНЫХ КОГЕРЕНТНЫХ СПЕКТРОВ ВЫХОДНОГО ПРОЦЕССА

Формулы, подобные (9.73), описывают и ошибки оценок частных когерентных спектров выходного процесса, изображенных на рис. 9.10. В частности,

9.3.6. ОЦЕНКИ АМПЛИТУДНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ДЛЯ УСЛОВНЫХ МОДЕЛЕЙ

По аналогии с соотношением (9.90) можно получить следующие результаты:

9.3.7. ОЦЕНКИ ФАЗОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ДЛЯ УСЛОВНЫХ МОДЕЛЕЙ

Приводимые ниже формулы, построенные на аналогии с (9.92), определяют погрешности выраженных в радианах оценок фазовых характеристик, отвечающих показанным на рис. 9.10 системам:

и т. д. В общем случае при имеем

Заметим, что эти оценки не нормированы и что ошибки будут малы при малых

Задачи

(см. скан)

(см. скан)