Глава 12. АНАЛИЗ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ

Предшествующие главы посвящены прежде всего измерению и анализу стационарных случайных процессов, т. е. процессов, статистические свойства которых не изменяются при переносе начала отсчета времени (или другого аргумента, от которого зависит рассматриваемый процесс). Приведенные в этих главах теоретические выводы, формулы для ошибок оценок и методы анализа, как правило, не применимы для нестационарных процессов. Их анализ требует специального рассмотрения и специальных методов, чему и посвящена данная глава.

12.1. Классы нестационарных процессов

Большинство случайных процессов, встречающихся на практике, имеют в обшем нестационарный характер. И все же для целей измерения и анализа довольно часто удается «вынудить» процесс по крайней мере к кусочностационарному поведению. Так, возвращаясь к примеру, приведенному в разд. 10.4.1, заметим, что флуктуации давления в турбулентном пограничном слое, возникающие при обычном полете высокоскоростного самолета, следует, вообще говоря, считать нестационарным процессом, так как они зависят от скорости воздушного потока и от высоты, а эти параметры меняются в течение одного полета. Однако для целей измерения легко осуществить полет при заданных условиях и обеспечить стационарность вариаций давления. Затем полетное задание можно менять по определенной программе от эксперимента к эксперименту, получая каждый раз стационарную запись. В результате достаточно детальное описание всевозможных условий полета получается в виде набора кусочно-стационарных реализаций. Такие приемы описания в целом нестационарных явлений при помощи стационарных процессов используются довольно часто и настоятельно рекомендуются, поскольку они позволяют избежать применения методов, необходимых при анализе нестационарных процессов.

Существуют ситуации, когда описанный подход к сбору и анализу данных нецелесообразен или нереален, так что индивидуальные реализации приходится анализировать как реализации нестационарного процесса. С чисто вычислительной точки зрения наиболее удачна ситуация, когда эксперимент, дающий реализацию изучаемого нестационарного процесса, допускает повторение при статистически идентичных условиях. Таким путем можно, как показано на рис. 12.1, получить ансамбль реализаций в единой системе отсчета времени. Однако чаще бывает так, что изучаемое нестационарное явление уникально и его нельзя повторить при статистически сходных условиях. Примерами могут служить нестационарные волны в океане, атмосферная турбулентность, различные временные ряды в экономике. Основные силы, создающие процесс, настолько сложны, что повторные эксперименты при сходных условиях не осуществимы. Во всех этих случаях анализ приходится осуществлять лишь по одной реализации процесса.

Рис. 12.1. Реализации нестационарного случайного процесса.

Не существует единой методологии, в рамках которой можно анализировать свойства нестационарного случайного процесса любого типа, пользуясь индивидуальной его реализацией. В известной мере это связано с тем, что вывод о нестационарности изучаемого процесса имеет чисто негативный характер, означая просто отсутствие свойства стационарности. Позитивного определения точной природы нестационарности такой вывод не содержит. Поэтому для анализа нестационарных процессов приходится разрабатывать специальные методы, приложимые только к отдельным классам нестационарных процессов. Обычный подход состоит во введении гипотезы о специфическом характере нестационарности изучаемого процесса, который рассматривается как результат воздействия некоторых детерминированных факторов на стационарный случайный процесс. Три примера, показанные на рис. 12.2, представляют собой реализации нестационарных процессов вида

где реализация стационарного случайного процесса

Рис. 12.2. Примеры нестационарных процессов: а — с переменным во времени средним значением; б - с переменным во времени средним квадратом; в — с переменной во времени частотной структурой.

заданная функция, в точности повторяющаяся для каждой реализации. Такие элементарные нестационарные модели можно комбинировать или обобщать, добиваясь лучшего соответствия реальным физическим условиям.