Глава 8. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОШИБКИ ПРИ ОЦЕНИВАНИИ ОСНОВНЫХ ПАРАМЕТРОВ

Как отмечено в точно определить характеристики случайных величин по выборочным данным невозможно. По выборке конечной длины можно найти лишь оценки интересующих исследователя параметров. В гл.4 приведены сведения о точности определения ряда основных параметров случайного процесса по выборке независимых измеренных значений этого процесса. В настоящей главе рассматривается вопрос о точности оценок параметров для непрерывной реализации процесса длиной . Предполагается, что анализируемые реализации принадлежат стационарному (эр-годическому) случайному процессу с непрерывным временем и произвольными средними значениями. Получены формулы для статистических ошибок следующих параметров: среднее значение, средний квадрат, плотность вероятности, ковариационная функция, функция спектральной плотности.

Основное внимание в этой и следующей главах уделено ошибкам, которые возникают по причинам чисто статистического характера. Ошибки, связанные с получением и обработкой данных, рассмотрены в гл. 10.

8.1. Понятие о статистических ошибках

Точность оценки некоторого параметра случайного процесса, полученной на основании выборки, характеризуется, как указано в разд. 4.1, средним квадратом ошибки, равным

где оценка параметра Равенство (8.1) можно представить в виде

Заметим, что среднее слагаемое приведенного выражения содержит множитель, равный нулю

Следовательно, средний квадрат ошибки равен

Таким образом, средний квадрат ошибки состоит из двух частей. Первая часть — это дисперсия оценки, характеризующая долю «случайности» в величине ошибки

Вторая часть есть квадрат смещения оценки, характеризующий ее систематическое отклонение:

Итак, средний квадрат ошибки равен сумме дисперсии оценки и квадрата смещения оценки:

На практике удобнее представить ошибку оценки в тех же единицах измерения, что и оцениваемый параметр. Для этого можно вычислить положительное значение корня квадратного из величин ошибок, описываемых формулами (8.3)-(8.5). Квадратный корень из величины (8.3) определяет среднеквадратичное отклонение оценки, называемое стандартной (или случайной) ошибкой

Квадратный корень из суммы квадратов ошибок (8.5) определяет ошибку смещения:

Квадратный корень из суммы квадратов ошибок (8.5) определяет среднеквадратичную ошибку:

Для удобства желательно представить ошибку в долях от оцениваемого параметра. Для этого ошибку делят на величину оцениваемого парметра и получают нормированную ошибку. При нормированные стандартная ошибка, ошибка смещения и среднеквадратичная ошибка выражаются соответственно формулами

Заметим, что нормированную стандартную ошибку часто называют коэффициентом вариации.

В случаях, когда мало, можно положить так что

таким образом, имеем

Иными словами, при малом нормированная случайная ошибка оценки квадрата параметра примерно равна удвоенной нормированной ошибке оценки самого параметра

Если смешение оценки пренебрежимо мало, т. е. и нормированная среднеквадратичная ошибка также мала, скажем то плотность вероятности этойоценки можно приближенно считать гауссовой со средним значением среднеквадратичным отклонением

Отсюда следуют такие утверждения относительно вероятности получения других значений того же параметра:

При этом доверительный интервал для неизвестного истинного значения параметра определенный по любой индивидуальной оценке принимает вид

При малом скажем эти выражения сводятся к виду

Эти утверждения остаются справедливыми при малом даже в тех случаях, когда неизвестное истинное распределение оценки есть хи-квадрат, или любое другое, более сложное распределение из тех, что описаны в гл. 4.

Доверительные интервалы для оценок можно построить и в случаях, когда нормированную среднеквадратичную ошибку нельзя считать малой (см. разд. 4.4). В данной главе подобная задача будет рассмотрена для оценок спектральной плотности. Помимо вывода формул для ошибок здесь будет обсужден и вопрос о состоятельности оценок (см.формулы (4.7)).

ПРИМЕР 8.1. ПРИБЛИЖЕННЫЕ 95%-ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ ДЛЯ ОЦЕНОК СРЕДНЕГО КВАДРАТА И СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОГО ЗНАЧЕНИЯ.

Пусть оценка среднего квадрата сигнала есть а ее нормированная среднеквадратичная ошибка Определим приближенные -доверительные интервалы для среднего квадрата и среднеквадратичного значения

Согласно формуле (8.14), приближенный -доверительный интервал для есть

Из формулы (8.10) следует, что для оценки величина так что приближенный -доверительный интервал для есть

Заметим, что значения границ доверительного интервала для оценки примерно равны корню квадратному из значений границ доверительного интервала для оценки