12.2. Вероятностная структура нестационарного процесса

Как показано на рис. 12.1, статистические свойства нестационарного случайного процесса определенные усреднением по ансамблю в момент времени I, не инвариантны относительно переноса момента Следовательно, при любом вероятностная структура случайной величины зависит от Точнее говоря, нестационарная плотность вероятности случайной величины имеет вид

и при любом обладает следующими основными свойствами:

В стационарном случае функция т. е. не зависит от I. Нестационарная функция распределения есть

Для справедливы соотношения, подобные рассмотренным в гл. 3 соотношениям для стационарной функции распределения

Если при нестационарный случайный процесс гауссов, то функция имеет вид

т. е. полностью определяется нестационарным средним и нестационарным средним квадратом функции в момент Отсюда видно, что, как и в рассмотренном ранее случае стационарных процессов, измерение этих двух характеристик весьма важно во многих приложениях к нестационарным задачам.

12.2.1. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ БОЛЕЕ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА

Для двух моментов времени двумерная нестационарная плотность вероятности случайных величин определяется выражением

и при любых обладает такими основными свойствами:

В случае стационарного процесса Двумерная нестационарная функция распределения может быть определена по аналогии с формулой (12.4):

Продолжая таким образом, можно строить нестационарные функции распределения и плотности вероятности более высоких порядков, получая все более детальную информацию о нестационарном случайном процессе Такой подход дает вполне строгое описание нестационарного процесса.

Рассмотрим теперь два различных нестационарных процесса Совместная (двумерная) плотность вероятности случайных величин есть

Эта функция обладает теми же основными свойствами, что и плотность вероятности (12.7). В частности, нестационарная взаимная ковариационная функция, рассматриваемая в разд. 12.5, удовлетворяет соотношению

В случае стационарного процесса

Измерение нестационарных плотностей вероятности может оказаться весьма трудоемкой задачей. Даже в случае одномерной плотности, заданной формулой (12.2), нужно рассматривать все возможные сочетания х и Для этого нужно анализировать большой ансамбль реализаций процесса. Если гауссово приближение приемлемо, то, согласно (12.5), задача измерения сводится к измерению только и что существенно проще. И все же, как показано в разд. 12.3 и 12.4, усреднение по ансамблю остается обычно необходимым.

12.2.2. СРЕДНИЕ ПО ВРЕМЕНИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

На практике для анализа нестационарного процесса имеется часто лишь одна или несколько реализаций. В таких случаях появляется соблазн анализировать процесс путем вычисления средних по времени характеристик, как это делается в случае стационарных (эргодических) процессов. Как будет показано ниже, такое усреднение по времени может дать осмысленные результаты для некоторых параметров и при некоторых специфических условиях. Однако при оценивании плотности вероятности такое усреднение по времени ведет, как правило, к сильно искаженным оценкам. В частности, при вычислении плотности вероятности процесса с нестационарным средним квадратом путем усреднения по времени плотность вероятности больших и малых величин будет завышена за счет уменьшения плотности вероятности умеренных величин (см. пример ниже).

ПРИМЕР 12.1. СРЕДНЯЯ ПО ВРЕМЕНИ ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ. Пусть первая половина реализации принадлежит гауссову стационарному случайному процессу с нулевым средним значением и дисперсией а вторая — такому же процессу, но с дисперсией

Рис. 12.3. Пример плотности вероятности нестационарного процесса.

так что плотность распределения реализации есть

Если теперь игнорировать это свойство нестационарности при вычислении плотности вероятности функции на интервале от 0 до то при любом значении х плотность вероятности будет определяться как среднее из плотностей, отвечающих двум отрезкам реализации, т.е.

Пусть, например, Получаемая в этом случае средняя по времени плотность вероятности показана на рис. 12.3. Заметим, что для этой оценки поскольку На рис. 12.3 показана также эквивалентная гауссова плотность вероятности при