12.7. Соотношения между входом и выходом линейной системы в нестационарном случае

Рассмотрим реализацию нестационарного случайного процесса поступающую на вход линейной системы с зависящими от времени весовой функцией и частотной характеристикой

При произвольной входной реализации принадлежащей процессу реализация на выходе принадлежащая процессу есть

Ясно, что в общем случае процесс нестационарен, поскольку его статистические характеристики зависят как при нестационарном входном процессе так и при зависящей от функции Для линейной системы с постоянными параметрами равенства справедливы при всех Соотношения между процессами на входе и выходе линейных систем будут рассмотрены ниже как во временнбй области для ковариационных функций двух аргументов, так и в частотной области для спектральных функций двух аргументов для следующих четырех случаев:

1) нестационарный процесс на входе системы с зависящими от времени параметрами;

2) нестационарный входной процесс на входе системы с постоянными параметрами;

3) стационарный процесс на входе системы с зависящими от времени параметрами;

4) стационарный процесс на входе системы с постоянными параметрами.

Последний случай сводится к модели с ковариационной функцией одного временного аргумента и спектральной плотностью, зависящей от одной частоты (см. гл. 6).

12.7.1. НЕСТАЦИОНАРНЫЙ ПРОЦЕСС НА ВХОДЕ СИСТЕМЫ С ЗАВИСЯЩИМИ ОТ ВРЕМЕНИ ПАРАМЕТРАМИ

Произведение значений в моменты времени имеет вид

Математическое ожидание обеих частей этого уравнения дает соотношение

между ковариационными функциями процессов на входе и выходе системы:

Аналогично

так что математическое ожидание равно

Равенства (12.169) и (12.170) представляют собой общий результат, справедливый для вещественных функций временного аргумента.

Для перехода к комплексным функциям частоты положим сначала

Тогда из формулы (12.167) следует равенство

т. е. двойное преобразование Фурье весовой функции Очевидно, что

Таким образом, равенство (12.168) эквивалентно равенству

Пусть теперь Тогда

где

Формула (12.177) играет ключевую роль при получении искомых

соотношений между спектральными плотностями процессов на входе и выходе линейной системы в нестационарном случае. В частности, произведение на для частот имеет вид

и математическое ожидание обеих частей этого равенства приводит к соотношению

Аналогичным образом получаем

так что математическое ожидание имеет вид

Формулы (12.178) и (12.179) представляют собой общий результат, справедливый для комплексных функций частоты. Назовем их случаем 1.

12.7.2. РЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ЧАСТНЫХ СЛУЧАЕВ

Рассмотрим теперь некоторые частные случаи, отвечающие полученным в разд. 12.7.1 формулам для случая 1.

Случай 2. Нестационарный процесс на входе системы с постоянными параметрами. Для линейной системы с постоянными параметрами имеем

Формулы (12.169) и (12.170) принимают вид

а формулы (12.178) и (12.179) — вид

Случай 3. Стационарный процесс на входе системы с зависящими от времени параметрами. В случае стационарного входного процесса имеем

Следовательно, формулы (12.169) и (12.170) принимают вид

а формулы (12.178) и (12.179) — вид

Заметим, что последнее равенство содержит величину а не

Случай 4. Стационарный процесс на входе системы с постоянными параметрами. В случае стационарного процесса на входе линейной системы с постоянными параметрами справедливы все соотношения, заданные формулами (12.180) и (12.185). В конечном итоге они приводят к хорошо известным результатам, представляющим собой простейшую форму уравнений (12.169), (12.170), (12.178) и (12.179):

Основные формулы для рассмотренных четырех случаев сведены в табл. 12.2.

12.7.3. СВЯЗЬ ЧАСТОТНО-ВРЕМЕННЫХ СПЕКТРАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ВХОДНОГО И ВЫХОДНОГО ПРОЦЕССОВ

Рассмотрим случай 2 из предыдущего раздела — прохождение нестационарного процесса через систему с постоянными параметрами. Получим теперь соотношения между частотно-временными спектрами входного и

выходного процесса, начав с соотношений (12.183) и (12.184) для двойных по частоте спектров.

Пусть

Тогда

Вместо формул (12.183) и (12.184) получаем следующие результаты:

Частотно-временные спектры находим теперь из уравнений (12.118) и (12.126) в виде

Введем функции

Формула (12.197) принимает вид

так что соотношение между частотно-временными спектрами процессов на входе и выходе системы есть

Таким образом, представляется сверткой функций и

(кликните для просмотра скана)

При некоторых значениях функция, заданная равенством (12.204), может быть отрицательной.

12.7.4. СВЯЗЬ СПЕКТРАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЭНЕРГИИ ВХОДНОГО И ВЫХОДНОГО ПРОЦЕССОВ

Рассмотрим частный случай нестационарных входных процессов, которые существуют физически лишь на протяжении конечных и измеримых интервалов времени, т. е. случай, когда входной процесс и выходной процесс отличны от нуля лишь при Такие процессы, называемые обычно переходными, допускают использование существенно более простых методов анализа, поскольку в этом случае для любых двух последовательностей с нулевыми средними значениями справедливы равенства

Согласно равенству (12.135) математическое ожидание произведения величин задает функцию взаимной спектральной плотности энергии

Аналогичным образом определяются и функции спектральной плотности энергии

При из соотношений (12.197) и (12.198) для входного и выходного процессов следует, что

Для односторонних спектральных плотностей энергии, существующих только при эти уравнения имеют вид

Заметим, что приведенные соотношения между входными и выходными характеристиками в случае переходных процессов идентичны соотношениям (6.6) — (6.9) для стационарных процессов; отличие состоит лишь в том, что спектры «мощности» заменяются на спектры «энергии». Теоретически в случае переходных процессов операция усреднения, необходимая для получения оценок спектров энергии подразумевает, что эксперимент, в результате которого получены записи процессов, может быть повторен многократно. Однако при практическом анализе систем с переходными случайными процессами отношение сигнал/шум часто бывает достаточно большим, что позволяет, как показано ниже (пример 12.12), получить значимые результаты при единичном эксперименте.

ПРИМЕР 12.12. ОЦЕНКА СПЕКТРА ЭНЕРГИИ. Рассмотрим лобовое столкновение автомобилей, движущихся со скоростями . В одном из автомобилей установлена модель пассажира, закрепленная на правом переднем сиденье обычным поясом безопасности и плечевым поясом. На рис. 12.12 показана зависимость ускорения от времени; измерения производились а) на корпусе автомобиля непосредственно справа от пассажирского сиденья и б) на груди модели пассажира. Энергетические спектры этих реализаций представлены на рис. 12.13. Спектры вычислялись без разбиения реализаций на отрезки и при разрешающей способности Гц.

Согласно формуле (12.210), амплитудная характеристика, связывающая ускорения корпуса автомобиля и модели пассажира, есть где спектры энергий

Рис. 12.12. Реализации ускорений во времени столкновения автомобилей: а — на корпусе автомобиля; б - на груди модели пассажира на переднем сиденье.

Рис. 12.13. Энергетические автоспектры столкновения автомобилей.

ускорений модели и корпуса соответственно. Результат такого расчета показан на рис. 12.14. Из сопоставления с амплитудной характеристикой, показанной на рис. 2.5, видно, что модель пассажира ведет себя во время столкновения примерно так же, как и сильно демпфированное пружиной массивное тело с собственной частотой колебаний около 10 Гц.

Задачи

(см. скан)

(см. скан)