8.2. Оценки среднего значения и среднего квадрата

8.2.1. СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ

Предположим, что отдельная реализация принадлежащая стационарному (эргодическому) случайному процессу определена на конечном интервале времени длиной Выборочное среднее значение можно вычислить по формуле

Истинное среднее значение

не зависит от времени , если процесс стационарен. Математическое ожидание оценки равно

поскольку оператор математического ожидания коммутативен с линейными операторами. Следовательно, независимо от длины реализации есть несмещенная оценка величины Так как несмещенная оценка, то средний квадрат ошибки оценки равен дисперсии

где из формулы (8.15) следует, что

Автокорреляционная функция стационарного случайного процесса определяемая формулой (5.6), есть

Согласно гипотезе о стационарности, не зависит от времени I и является четной функцией аргумента с максимумом в точке Будем считать, что функция непрерывна и ограничена при всех значениях и что все периодические составляющие функции заранее исключены. Автокорреляционная функция определяемая формулой (5.8), имеет вид

Оказывается, что в случае, когда удобнее пользоваться функцией а не Будем полагать, что функция интегрируема (см.формулу (5.117)) и, следовательно, процесс обладает свойством эргодичности.

Дисперсию оценки (средний квадрат ошибки), определяемую соотношениями (8.18) и (8.19), можно выразить через автокорреляционнцую функцию

Последнее выражение получено изменением порядка интегрирования по переменным и интегрированием по переменной . По этой причине меняются пределы интегрирования по переменным и , как показано на схеме

и поэтому

Устремляя теперь к бесконечности, можно переписать формулу (8.22) в виде

Здесь использованы соотношения (5.117), из которых следует, что функции абсолютно интегрируемы на интервале и поэтому можно перейти к пределу под знаком интеграла. Равенство (8.23) показывает, в частности, что при больших когда дисперсия равна

Следовательно, в тех случаях, когда интеграл сходится, дисперсия стремится к нулю при стремлении к бесконечности. Это значит, что есть состоятельная оценка параметра

Рассмотрим важный частный случай, когда процесс есть ограниченный по частоте белый шум, имеющий среднее значение и дисперсию 4. Предположим, что спектральная плотность имеет вид

где В — ширина полосы частот. Соответствующая корреляционная функция равна

Заметим, что при где целое число. Таким образом, значения процесса в точках, разделенных промежутками некоррелированы. В случае гауссова процесса они будут статистически независимыми. В этом случае из формулы (8.24) следует приближенная формула при

При О нормированная среднеквадратическая ошибка равна

Заметим, что, согласно (8.3),

Следовательно, в соответствии с равенством (8.27) для ограниченного по частоте белого шума имеем

В гауссовом случае и при четвертый момент, согласно формуле (3.82), равен

Пренебрегая членами порядка получаем

Таким образом, нормированная среднеквадратическая ошибка оценки задается выражением

Сопоставление с уравнением (8.28) показывает, что

что согласуется с общим соотношением (8.10)

ПРИМЕР 8.2. СЛУЧАЙНАЯ ОШИБКА ОЦЕНКИ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ. Рассмотрим ограниченный по частоте белый шум со спектральной шириной Гц, средним значением и стандартным отклонением Пусть среднее значение оценивается усреднением по реализации длиной Определим ширину доверительного интервала, в пределах которого оценка среднего значения окажется с вероятностью около 95%.

Согласно формуле (8.27), случайная ошибка оценки имеет среднеквадратическое отклонение

При этом из соотношений (8.12) следует, что с вероятностью около 95% оценка окажется внутри интервала