7.4.3. СИСТЕМЫ С ШУМОМ НА ВЫХОДЕ

Рассмотрим теперь более реалистическую модель системы с несколькими входами и одним выходом, в которой учитывается наличие постороннего некоррелированного шума на выходе системы. Вместо идеального соотношения (7.151) для имеет место формула

где - преобразование Фурье шума на выходе Вместо формулы (7.156) получаем

Формула (7.163) не изменяется, так что и при наличии шума имеет вид

Следовательно, можно представить как

Входная матричная спектральная плотность из формулы (7.154) есть эрмитова матрица размерностью Определим расширенную матричную спектральную плотность выходного процесса при входных процессах как эрмитову матрицу размерностью

Покажем, что определитель этой расширенной матрицы равен нулю для всех в идеальном случае отсутствия шума, т. е. при в формуле (7.169).

Для элементы первого столбца (стоящие под элементом представляют собой линейные комбинации элементов стоящих в соответствующей строке, т. е. в силу формулы (7.164)

В идеальном случае отсутствия шума спектр выходного процесса есть

причем последнее равенство следует из равенств Формула (7.172) эквивалентна формуле

Следовательно, линейная комбинация элементов первой строки Поэтому в матрице весь первый столбец состоит из линейных комбинаций элементов соответствующих строк. По известной теореме (см., например, работу [7.4]) определитель такой матрицы равен нулю,

Вернемся теперь к модели, учитывающей шум, в которой задается формулой (7.169) при Как уже отмечалось, формула (7.163) имеет одинаковый вид как при наличии шума, так и при его отсутствии. Поэтому в силу результатов, справедливых при отсутствии щума, определитель матрицы для любого выражается формулой

где — определитель матрицы Заметим: из этой формулы следует, что если

Функция множественной когерентности, задаваемая формулой (7.35), может быть выражена через определители:

Проверим эту формулу при т. е. для системы с одним входом и одним выходом. Имеем

В данном случае, определители равны

Подставив эти выражения в формулу (7.176), получаем

т. е. выражение для функции обычной когерентности такой системы.