11.2.4. ПРИМЕНЕНИЕ К ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯМ

Если даны две действительные реализации и то их преобразование Фурье можно вычислить одновременно, приравняв одну реализацию действительной, а другую мнимой частям некоторой комплексной реализации

Согласно формуле (11.38), преобразование Фурье функции имеет вид

и может быть рассчитано по алгоритму БПФ. В формулах (11.70) и (11.71) обычно преполагается, что ординатам реализаций соответствует значений частот, отстоящих друг от друга на величину При этом частоте Найквиста отвечает значение Поэтому при четном однозначные результаты получаются только для значений Для получения функций заметим, что

поскольку при любых Следовательно, комплексно-сопряженная функция равна

Тогда

Таким образом, преобразования Фурье двух действительных реализаций и имеют вид

Тем же приемом можно воспользоваться для расчета преобразования на интервале вдвое большей длины. Для этого вещественная реализация разделяется на две части, и одна часть состоит из значений при четном другая — при нечетном Иными словами,

Пользуясь теперь формулой (11.71), вычислим преобразование Фурье последовательности затем по формуле (11.72) найдем преобразования Фурье последовательностей и Их объединение дает искомое преобразование Фурье последовательности в виде

Заметим, что этот способ позволяет выполнить преобразование Фурье действительных чисел путем преобразования комплекснозначной последовательности, состоящей из чисел.