7.4. МАТРИЧНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ

Рассмотрим теперь общие системы с несколькими входами и несколькими выходами, причем число входов равно числу выходов. Приводимые результаты легко обобщаются на тот случай, когда число входных процессов не равно числу выходных процессов. Для лучшего понимания физической сути этих задач рекомендуется разбивать такие системы на подсистемы с несколькими входами и одним выходом и анализировать их алгебраическими методами, описанными в разд. 7.2 и 7.3. При желании системы с несколькими входами и несколькими выходами можно исследовать и матричными методами, на этот случай в данном разделе приводятся все необходимые определениями формулы. Матричные методы не позволяют раскладывать естественным образом наблюдаемые спектры выходных процессов на составляющие, соответствующие наблюдаемым входным процессам. Кроме того, анализ ошибок по матричным формулам значительно сложнее анализа ошибок по формулам, приведенным в разд. 7.3, где система с несколькими входами и одним выходом преобразуется в совокупность упорядоченных условных систем с одним входом и одним выходом. Относительно простые оценки ошибок для таких условных систем выводятся в гл. 8.

7.4.1. СИСТЕМА СО МНОГИМИ ВХОДАМИ И МНОГИМИ ВЫХОДАМИ

Пусть X — вектор-столбец, представляющий преобразования Фурье входных процессов вектор-столбец, представляющий преобразования Фурье выходных процессов

векторы, комплексно-сопряженные к транспонированные векторы (строки) для

Входная матричная спектральная плотность равна

Выходная матричная спектральная плотность равна

Взаимная матричная спектральная плотность между входными и выходными процессами равна

Строго говоря, в формулах (7.123)-(7.125) должен стоять предельный переход по , но для упрощения обозначений этот предельный переход, как и зависимость от частоты, не указывается. На практике этот предельный переход никогда не выполняется в силу конечности имеющихся реализаций.

Определим теперь основные матричные величины:

(см. скан)

Отметим, что эрмитовы матрицы, для всех . Для эрмитовых матриц Имеем

Во всех этих выражениях причем индекс, обозначающий входной процесс, предшествует индексу, обозначающему выходной процесс.

Обозначим матричную частотную характеристику, задающую преобразование через где, как и выше, индекс, обозначающий вход, предшествует индексу, обозначающему выход. Элементы матрицы Тогда

Из этого определения следует, что

где матрица, транспонированная по отношению к матрице Поэтому

Заметим, что в алгебраической форме это эквивалентно формуле

Эта формула естественным образом устанавливает связь между выходным процессом и входными процессами причем X, проходит через проходит через вплоть до которое проходит через Схематически это можно представить так:

Используя эти определения, выведем теперь матричные формулы для систем общего вида с несколькими входами и несколькими выходами в том случае, когда число выходов равно числу входов. Предполагается, что все требуемые обратные матрицы существуют.

Определение и

Взяв математическое ожидание от обеих частей последнего соотношения и умножив на получим

Эта формула выражает через и Умножив обе части формулы (7.139) на получим

где

Формула (7.140) эквивалентна формуле

и выражает через Формула (7.139) показьшает, что матрица равна произведению матриц и размерностью Определение

Взяв математическое ожидание от обеих частей последнего соотношения и умножив на получим

Следовательно,

при условии, что соответствующие обратные матрицы существуют. Формула (7.147) показывает, что равна произведению трех матриц размерностью Комплексно-сопряженная транспонированная матрица имеет вид

Соотношения (7.139), (7.142), (7.147) и (7.148) — это основные матричные формулы, используемые при анализе систем со многими входами и выходами.

Выведем теперь матричные формулы для системы обшего вида со многими входами и одним выходом. Как и выше, входные процессы не упорядочены и не обусловлены.