6.1.4. ОПТИМАЛЬНЫЕ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Вернемся к исходной системе с одним входом и одним выходом, в которой шум воздействует только на выход (случай 1, рис. 6.7). Откажемся теперь от предположения о некоррелированности пусть произвольная линейная частотная характеристика, задающая преобразование Найдем такую которая минимизирует шум на выходе, при этом оптимальность оценки понимается в среднеквадратичном смысле. Заметим, что если между выходным сигналом и шумом есть корреляция, например если выход содержит зависящий от сигнала инструментальный шум или вклад ряда других входных сигналов, коррелированных с наблюдаемым сигналом то результирующая оптимальная вовсе не будет описывать фактически имеющийся тракт между точками, в которых наблюдаются Кроме того, преобразование входного сигнала в выходной может быть нелинейным. В любом случае просто является функцией, которая формально задает наилучшую в среднеквадратичном смысле линейную связь между

Для любого набора реализаций достаточно большой длины поведение системы, изображенной на рис. 6.7, описывается соотношениями

где прописными буквами обозначены финитные преобразования Фурье соответствующих реализаций во временной области. Очевидно, что

Следовательно,

Взяв математическое ожидание от обеих частей равенства (6.54), умножив их на и устремив к бесконечности, получим

Рис. 6.7. Система с одним входом и одним выходом при наличии шума на выходе.

Это выражение для справедливо при произвольной По определению, оптимальная частотная характеристика это такая частотная характеристика, которая минимизирует по всем возможным Эта опенка называется оценкой по методу наименьших квадратов (см. разд. 4.8.2).

Минимизируем теперь как функцию от Для упрощения обозначений зависимость от указываться не будет. Таким образом,

Представим комплексные величины через их действительные и мнимые части:

Тогда

Для нахождения вида частотной характеристики минимизирующей нужно приравнять нулю частные производные по и и решить полученную таким образом систему уравнений. Имеем при этом

откуда

Следовательно, оптимальная характеристика равна

Оптимальная характеристика вычисляемая по произвольным реализациям согласно формуле (6.57), носит теоретический характер и не обязательно физически осуществима.

Подстановка оптимальной частотной характеристики из (6.57) в

формулу (6.55) позволяет обнаружить еще одно ее важное свойство. Именно, спектр шума на выходе равен

откуда получаем выражение для когерентного спектра на выходе:

Кроме того, для оптимальной частотной характеристики справедливы соотношения

Следовательно,

Таким образом, если для оценки линейной системы (рис. 6.7) используется оптимальная частотная характеристика то автоматически не коррелированы.

Заметим также, что специальный вид уравнений (6.56) позволяет просто найти ту же оптимальную путем приравнивания нулю или частной производной по (при фиксированном или частной производной по (при фиксированном . Этим способом получаем

Обоснуем этот метод. Уравнение (6.56) показывает, что действительная функция от или от Обозначим ее как

причем эта функция имеет вид

где А — комплексная величина, а В, С - действительные. Величина это действительная часть мнимая часть причем выполняются следующие соотношения: Далее,

Следовательно, условия минимума, состоящие в том, что соотношения

эквивалентны условиям

Согласно формуле (6.63), эти равенства имеют место, если

Поэтому оба условия (6.66) выполняются, если

Заметим, что это решение получено либо из равенства (при фиксированной), либо (при фиксированной) без использования и Из соотношения (6.56) находим, что Поэтому

что совпадает с выражением (6.57).