2.2. Основные динамические характеристики

Динамические характеристики линейной системы с постоянными параметрами можно описать с помощью весовой функции иногда называемой импульсной переходной функцией, которая определяется как реакция в произвольный момент времени на импульсное воздействие, поступившее

на вход системы за единиц времени до этого момента. Полезность весовой функции для описания такой системы связана со следующим обстоятельством. Для произвольного входного сигнала выход системы задается интегралом свертки

т. е. значение выходного сигнала является взвешенной линейной (бесконечной) суммой по всей реализации входного сигнала .

Для того чтобы линейная система с постоянными параметрами была физически осуществимой (причинно-обусловленной), необходимо, чтобы система реагировала только на прошлые значения входного сигнала. Это означает, что

Следовательно, в физических системах нижний предел интегрирования в уравнении (2.2) фактически равен нулю, а не

Линейная система с постоянными параметрами называется устойчивой, еслн любая допустимая ограниченная входная функция приводит к ограниченной выходной функции. Из уравнения (2.2) имеем

Если входная функция ограничена, то существует некоторая конечная постоянная А такая, что для всех

Из соотношения (2.4) следует, что

Поэтому, если весовая функция линейной системы с постоянными параметрами абсолютно интегрируема, т. е. если

то выходная функция тоже ограничена, а система устойчива.

ПРИМЕР 2.2. НЕУСТОЙЧИВАЯ СИСТЕМА. Рассмотрим простую систему, импульсная переходная функция которой имеет вид

Поскольку для то, согласно определению, система физически осуществима. Однако

Отсюда следует, что система неустойчива при и устойчива при . В частности, если то

На этом пример 2.2 заканчивается.

Линейную систему с постоянными параметрами можно охарактеризовать также передаточной функцией которая определяется как преобразование Лапласа функции т. е.

В терминах передаточной функции можно придать интересный вид критерию устойчивости линейной системы с постоянными параметрами (в предположении, что она физически осуществима). Именно, если не имеет полюсов в правой полуплоскости комплексной плоскости включая мнимую ось (отсутствуют полюса с ), то система устойчива. Обратно, если имеет хотя бы один полюс в правой полуплоскости комплексной плоскости или на ее мнимой оси, то система неустойчива.

Важное свойство линейных систем с постоянными параметрами — сохранение частот. Более подробно, рассмотрим линейную систему с постоянными параметрами, имеющую весовую функцию Уравнение (2.2) показывает, что при произвольной входной функции производная по времени выходной функции равна

Пусть теперь на вход поступает гармоническая функция т. е.

Вторая производная равна

Из уравнения (2.9) следует, что вторая производная выходной функции (I) имеет вид

Следовательно, гармоническая функция с той же частотой, что и Этот результат показывает, что линейная система с постоянными параметрами не меняет частоты, а воздействует только на амплитуду и фазу сигнала, подаваемого на вход.