поскольку подынтегральное выражение неотрицательно 
во всех точках области интегрирования в правой части. Отсюда следует, что
Заменим теперь 
Тогда 
обратится в 
и неравенство (3.22) примет вид
В частности, при 
имеем
что эквивалентно
Любое из неравенств (3.22) называется неравенством Чебышева.
ПРИМЕР 3.4. ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТЕЙ УКЛОНЕНИЙ. Рассмотрим случайную величину 
с неизвестной плотностью вероятности. С помощью неравенства Чебышева (3.226) при 
можно сделать следующие вероятностные утверждения:
Эти относительно слабые утверждения полезно сравнить с результатами, справедливыми в том случае, когда 
имеет гауссово распределение. Из табл. 
в гауссовом случае получим более сильное утверждение
Следовательно, можно утверждать, что отклонения гауссовой случайной величины от среднего значения в 95% случаев не превышают 
в то же время относительно случайной величины с произвольным распределением можно утверждать, что доля таких значений составляет лишь 75%.
произвольная случайная величина с средним значением 
средним квадратом 
и дисперсией 
Предположим, что она имеет плотность 
которая может быть и неизвестной. Тогда
