10.4. Оценивание основных свойств процесса

Корректность методов анализа случайных процессов, а также интерпретации результатов анализа в значительной степени зависят от некоторых основных свойств анализируемого процесса. К их числу в первую очередь относятся стационарность, присутствие периодических составляющих и нормальность процесса. Стационарность процесса играет важную роль потому, что методы анализа нестационарных процессов существенно более громоздки, чем в стационарном случае. Если установлено, что в процессе содержатся периодические составляющие, то это позволяет избежать в дальнейшем ошибок при интерпретации результатов анализа.

Предположение о нормальности позволяет существенно упростить аналитическое исследование свойств случайного процесса (не содержащего периодических составляющих), поэтому желательна проверка этой гипотезы. На рис. 10.1 оценивание основных свойств процесса, т. е. этих трех фундаментальных характеристик, указывается как отдельная операция, выполняемая до начала детального анализа. Однако на практике она зачастую осуществляется как составная часть общего анализа. Ниже рассмотрены практические соображения, касающиеся оценивания основных свойств процесса.

10.4.1. ПРОВЕРКА СТАЦИОНАРНОСТИ

По-видимому, наиболее простой способ оценивания стационарности реализации заключается в рассмотрении физической природы процесса, которому эта реализация принадлежит. Если основные физические факторы, определяющие процесс, не зависят от времени, то можно без дальнейшего исследования полагать изучаемый процесс стационарным. Рассмотрим, например, случайный процесс изменения давления в турбулентном пограничном слое, возникающем при полете самолета с большой скоростью. Если очертания самолета, его высота и скорость остаются во время полета неизменными, то справедливо допустить, что рассматриваемый случайный процесс обладает свойством стационарности. С другой стороны, если высота, скорость и (или) конфигурация самолета быстро изменяются, то следует ожидать, что колебания давления в пограничном слое нестационарны.

На практике такие простые соображения, позволяющие проверить справедливость гипотезы о стационарности, обычно отсутствуют. В подобных случаях эта гипотеза должна быть проверена путем анализа имеющихся реализаций. Способы проверки могут быть различными — от визуального просмотра реализаций опытным специалистом до детального статистического оценивания различных параметров процесса. Во всяком случае, если исследователь намеревается установить стационарность процесса по его отдельной реализации, необходимо сделать существенные допущения. Во-первых, следует предположить, что любая реализация правильно отражает нестационарный характер изучаемого процесса. Это допущение вполне приемлемо для нестационарных процессов, содержащих детерминированный тренд (см. гл. 12). Во-вторых, нужно допустить, что длина данной реализации существенно больше периода самой низкочастотной составляющей процесса. Иными словами, длина реализации должна быть настолько большой, чтобы можно было разделить нестационарный тренд и низкочастотные случайные колебания.

Помимо этих допущений, удобно (но не обязательно) предположить, что любые представляющие интерес нестационарные свойства процесса полностью описываются медленными изменениями во времени среднего квадрата процесса. Нетрудно, конечно, построить нестационарный процесс со стационарным средним квадратом. Примером может служить

синусоидальное колебание постоянной амплитуды, но с непрерывно возрастающей частотой и со случайной начальной фазой. Все же на практике такие случаи встречаются редко, поэтому маловероятно, чтобы нестационарный случайный процесс обладал ковариационной функцией, зависящей от времени при всех значениях кроме Поскольку то переменный средний квадрат случайного процесса обычно означает, что его ковариационная функция зависит от времени. Аналогичные рассуждения справедливы и для моментов более высокого порядка.

Имея в виду эти допущения, можно предложить такую последовательность действий для проверки стационарности случайного процесса по отдельной его реализации

1. Реализация разделяется на равных интервалов, причем наблюдения в различных интервалах полагаются независимыми.

2. Вычисляются оценки среднего квадрата (или отдельно средних значений и дисперсий) для каждого интервала, и эти оценки располагаются в порядке возрастания номера интервала:

3. Эта последовательность оценок среднего квадрата проверяется на наличие тренда или других изменений во времени, которые не могут быть объяснены только выборочной изменчивостью оценок.

Окончательная проверка реализаций на наличие трендов может быть выполнена различными способами. Если известно выборочное распределение оценок, то можно воспользоваться статистическими критериями, описанными в гл. 4. Однако, как отмечалось в разд. 8.2.2, знание выборочного распределения оценок среднего квадрата требует знания частотной структуры процесса. Обычно при проверке стационарности эти сведения отсутствуют. Поэтому более желательно применение непараметрических критериев, при использовании которых не требуется знать выборочные распределения оценок. Два таких непараметрических критерия, которыми можно воспользоваться для решения данной задачи, описаны в разд. 4.7. Это критерий серий и критерий инверсий. Последний представляет собой более мощное средство для обнаружения монотонных трендов в данных наблюдений. Критерий инверсий может быть непосредственно использован для проверки гипотезы о стационарности следующим образом.

Предположим, что последовательность оценок среднего квадрата есть выборка, составленная из независимых наблюдений над стационарной случайной последовательностью со средним значением 2. Если эта гипотеза верна, то изменения последовательности средних значений будут носить случайный характер и не будут содержать тренда. Следовательно, вероятное число инверсий будет таким же, как и для последовательности независимых наблюдений над рассматриваемой случайной величиной, т. е. будет определяться формулой (4.56). Если же число инверсий окажется существенно иным, то гипотеза стационарности должна быть отвергнута. В противном случае гипотезу можно принять. Заметим, что

описанный метод проверки стационарности не требует знания спектральной ширины рассматриваемого процесса или длины интервала усреднения, по которому определены оценки среднего квадрата. Понятно, что его применение не ограничено оценками среднего квадрата. Метод будет работать столь же эффективно и для оценок среднего или среднеквадратичного значения, среднеквадратичного отклонения, среднего абсолютного значения или любых других оценок. Более того, анализируемые данные не обязательно должны быть свободны от вклада периодических компонент. Полезные выводы могут быть получены и при наличии периодичностей, если только их максимальный период мал по сравнению с интервалом усреднения, по которому получают выборочные оценки параметров.

ПРИМЕР 10.4. ПРОВЕРКА СТАЦИОНАРНОСТИ. Для того чтобы показать применение критерия инверсий для проверки гипотезы стационарности, рассмотрим показанную на рис. 10.10 последовательность из 20 оценок среднего квадрата. Измерения производились на выходе аналогового генератора случайного шума при постепенном повышении усиления примерно на 20%. Число инверсий, определенное для этой последовательности в соответствии с разд. 4.7.2, оказалось следующим:

Общее число инверсий

Предположим теперь, что эта выборка принадлежит стационарному процессу. Согласно табл. эта гипотеза была бы принята при уровне значимости если бы последовательность, состоящая из измерений, содержала не менее инверсий. Поскольку в

Рис. 10.10. Последовательность измерений среднего квадрата.

действительности выборка содержит инверсий, гипотеза стационарности должна быть отвергнута при 1%-ном уровне значимости; иными словами, эту выборку следует признать нестационарной. На этом пример 10.4 заканчивается.

Заметим в заключение, что предположение о стационарности может быть зачастую подтверждено (или опровергнуто) при помощи простого непараметрического критерия среднего квадрата (или других связанных с ним оценок характеристик), рассчитываемых по отдельным отрезкам имеющейся реализации. Однако если исследователь не считает постоянство во времени среднего квадрата достаточным доказательством стационарности автокорреляционной функции, то следует использовать и другие методы проверки, при которых производится разбиение процесса по отдельным диапазонам частот. В частности, можно разделить процесс на несколько смежных частотных диапазонов при помощи полосового фильтра и отдельно проверить на стационарность оценки среднего квадрата в каждом интервале частот. Поскольку спектральная плотность и автокорреляционная функция представляют собой пару преобразований Фурье, постоянство во времени одной функции означает, что и другая функция обладает тем же свойством.

10.4.2. ПРОВЕРКА ПЕРИОДИЧНОСТИ

Теоретически наличие периодических и (или) почти периодических составляющих в случайном процессе проявляется в виде дельта-функций в его спектральной плотности. На практике оказывается, что спектральная плотность содержит острые пики, которые можно ошибочно приписать узкополосному случайному шуму. Желательно поэтому установить наличие периодических составляющих, чтобы не путать их с узкополосным случайным шумом, спектральная плотность которого конечна. Если периодические составляющие имеют большие амплитуды, то их наличие совершенно очевидно. Однако при малых амплитудах периодические компоненты не проявляются столь отчетливо. Их присутствие устанавливается наиболее эффективно при помощи методов, тесно связанных с методами анализа чисто случайных процессов. Поэтому практически методы выделения скрытых периодичностей представляют собой развитие методов анализа случайных процессов. В частности, периодические составляющие можно зачастую обнаружить в случайном процессе в результате визуального анализа оценок спектральной плотности, плотности распределения и (или) ковариационной функции, рассчитанных по данным наблюдений над стационарным процессом. Для решения этой задачи чаще всего используют оценки автоспектра.

Делают это таким образом. В оценке спектральной плотности, вычисленной при высоком разрешении по частоте, периодические составляющие даже небольшой амплитуды проявятся в виде острых максимумов. Однако

острый максимум оценки автоспектра может отвечать и узкополосному случайному шуму. Различить эти две ситуации можно, строя оценки автоспектра с все более высоким разрешением по частоте. Если максимум отвечает гармоническому колебанию, то его ширина всегда будет совпадать с шириной полосы пропускания используемого для построения оценки фильтра, сколь бы малой она ни была. Кроме того, высота максимума будет расти всегда пропорционально уменьшению полосы пропускания. Очевидно, что такой метод детектирования даст иные результаты, если ширина элементарной полосы частот при спектральном анализе меньше возможной ширины спектра узкополосного случайного процесса.

ПРИМЕР 10.5. СПЕКТР СМЕСИ ШУМА И ГАРМОНИЧЕСКОГО КОЛЕБАНИЯ. Чтобы показать, как по энергетическому спектру можно обнаружить наличие периодической составляющей в случайном процессе, обратимся к рис. 10.11. В этом примере процесс на выходе генератора случайного шума смешивается с гармоническим сигналом. Среднеквадратичное значение амплитуды гармонического сигнала задано равным 1/20 соответствующего среднеквадратичного значения случайного сигнала. На графике рис. 10.11, а, полученном при использовании фильтра с относительно широкой полосой пропускания, наличие синусоиды почти незаметно. График на рис. 10.11, б, построенный при использовании фильтра с шириной полосы пропускания, составляющей 1/5 ширины предыдущего фильтра, показывает, что периодическая составляющая, по-видимому, присутствует. График на рис. 10.12, в, полученный при использовании фильтра, ширина полосы пропускания которого еще в 5 раз меньше, достаточно четко свидетельствует о наличии синусоидальной составляющей.

10.4.3. ПРОВЕРКА НОРМАЛЬНОСТИ

Наиболее просто проверить, подчиняются ли реализации стационарного случайного процесса нормальному закону, можно, измерив плотность вероятности значений процесса и сравнив ее с теоретическим нормальным распределением. Если длина реализации достаточно велика и ошибки измерения малы по сравнению с отклонениями функции от нормальной кривой, то несоответствие ее нормальному распределению будет очевидно. Если выборочное распределение оценки плотности вероятности известно, можно применить критерии нормальности даже в том случае, когда статистические ошибки велики. Однако, как и в случае проверки стационарности (см. разд. 10.4.2), при нахождении выборочного распределения оценки плотности вероятности необходимо знать частотную структуру процесса. Такого рода сведения на практике получить трудно. Следовательно, более желательно применять непараметрические критерии. Один из наиболее

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

удобных непараметрических критериев нормальности распределения — это критерий согласия хи-квадрат, описанный в разд. 4.6.