8.5. Оценки спектральных плотностей

Блок-схема стандартного фильтрующего устройства для оценивания спектральной плотности реализациих приведена на рис. 8.3. Предполагается, что подаваемая на вход фильтра реализация характеризует стационарный (эргодический) случайный процесс с нулевым средним значением, а усреднение производится в пределах интервала времени Считается далее, что настраиваемый узкополосный фильтр имеет постоянную полосу пропускания, отличную от нуля, с центральной частотой , которую можно изменять в исследуемом диапазоне частот. Эту полосу пропускания частот не следует путать с полной полосой частот, содержащихся в реализации Оказывается, что для получения состоятельной оценки функции необходимо осуществить операцию фильтрации, позволяющую проводить усреднение в пределах некоторой полосы частот. Окончательная

Рис. 8.3. Полосовой фильтр с постоянной полосой пропускания для измерения спектральной плотности.

оценка характеризует усредненную по времени величину которая содержит составляющие с частотами в полосе от до и отнесена к ширине полосы Отметим следующее обстоятельство. Так как отличное от нуля среднее значение соответствует наличию дикретной составляющей с нулевой частотой, то предположение о равенстве среднего значения нулю существенно в дальнейшем лишь в том случае, когда полоса содержит частоту . Во всех дргуих случаях, когда не включает в себя частоту , полученные ниже выводы применимы ко всем процессам с произвольным средним значением.

Средний квадрат функции в пределах полосы частот с центральной частотой определяется выражением

где - реализация на выходе узкополосного фильтра, интервал усреднения. В разд. 8.2.2 показано, что величина (8.126) представляет собой несмещенную и состоятельную оценку истинного среднего квадрата при стремящемся к бесконечности. Это означает, что

где средний квадрат реализации на выходе фильтра с полосой пропускания и центральной частотой .

По определению, спектральная плотность

где величина

представляет собой оценку функции определяемую методом, который поясняется на рис. 8.1. Средний квадрат функции в полосе частот

можно выразить через истинную спектральную плотность в виде

В частности,

Из формул (8.129) и (8.131) следует, что

Таким образом, для большинства значений

т.е. в общем случае представляет собой смещенную оценку функции

Средний квадрат ошибки оценки вычисляют из соотношения

где дисперсия оценки равна

а смещение оценки равно

8.5.1. СМЕШЕНИЕ ОЦЕНКИ

Выражение для ошибки смешения (8.136) можно получить тем же способом, что и при оценивании плотности вероятности в Разлагая величину в ряд Тейлора в точке и оставляя только три первых члена, из формулы (8.132) можно найти, что

Таким образом, ошибка смещения равна

где вторая производная функциии по аргументу связанная с ковариационной функцией соотношением

Рис. 8.4. Пример ошибки смещения при сглаживании оценок спектральной плотности по частоте.

Следует подчеркнуть, что формула (8.138) дает только первое приближение для ошибки смещения, которое применимо в тех случаях, когда Так как на практике спектры зачастую содержат острые пики, которым соответствуют большие числовые значения второй производной, то использование формулы (8.138) может привести к получению неверных представлений об ошибке смещения. Соотношение (8.138) будет давать завышенные значения ошибки смещения, если произведение велико.

Уравнение для ошибки смещения (8.138) получено в предположении, что оценка спектральной плотности найдена, как показано на рис. 8.4, при использовании идеального прямоугольного спектрального окна, заданного формулой (8.131). В разд. 11.5 будет показано, что практические методы спектрального оценивания предполагают использование спектральных окон, форма которых существенно отличается от точного прямоугольника. Тем не менее формула (8.138) представляет собой полезное первое приближение, дающее верные и важные качественные результаты. В частности, ошибка смешения возрастает при фиксированном с ростом или с ростом при фиксированном значении Кроме того, из рис. 8.4 ясно видно, что ошибка смещения всегда ведет к уменьшению размаха значений спектральной плотности: ее максимумы занижаются, а провалы завышаются.

ПРИМЕР 8.5. СМЕЩЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНОЙ ОЦЕНКИ. Пусть на вход системы с одной степенью свободы, описанной в разд. 2.4.1, поступает белый шум. Согласно примеру 6.3, функция спектральной плотности смещения массы задается в этом случае формулой

где выраженная в единицах смещения массы спектральная плотность

возмущения, поступающего в систему, собственная частота незатухающих колебаний, коэффициент затухания системы. Согласно уравнению (2.25), максимальное значение достигается на резонансной частоте При вторая производная функции в точке есть

где полоса пропускания по уровню половинной энергии в области резонансного максимума спектра, задаваемая формулой (2.27), т.е. . В соответствии с равенством (8.138) нормированная систематическая ошибка есть теперь

Этот результат часто используется для оценивания максимального смещения оценок спектральной плотности процессов на выходе механических и электрических систем с небольшим затуханием. Очевидно, что для получения небольшого смещения разрешение по частоте должно быть меньше полосы пропускания Обычно принимают , что дает пренебрежимо малую систематическую ошибку .

8.5.2. ДИСПЕРСИЯ ОЦЕНКИ

Для того чтобы непосредственно получить выражение для дисперсии оценки спектральной плотности, воспользуемся выводами Как следует из соотношения (8.129), величина

есть несмещенная оценка, характеризующая средний квадрат функции в полосе частот с центральной частотой Если спектральная плотность постоянна в пределах полосы частот то истинный средний квадрат равен Это условие выполняется приближенно при достаточно малых значениях Теперь можно использовать формулу (8.45), положив в ней

Так как постоянная, то

Отсюда можно получить дисперсию оценки

Другие сведения о дисперсии оценок спектральной плотности приведены в разд. 8.54.

Соотношение (8.143) получено в предположении, что отфильтрованный процесс ведет себя как ограниченный по частоте белый шум. На практике такое предположение вполне приемлемо при узкой полосе пропускания фильтра Согласно центральной предельной теореме, процесс на выходе фильтра должен быть ближе к гауссову, чем входной процесс, и тот факт, что ширина мала, означает, что спектр выходного процесса должен, по существу, почти не зависеть от частоты. Следовательно, при малой ширине можно с большой степенью уверенности утверждать, что нормированная случайная ошибка оценки есть

Заметим, что эта величина не зависит от частоты.