10.5. Анализ данных

Методы, при помощи которых изучаются свойства случайных процессов, логично разделить на две группы: методы анализа отдельных реализаций и методы анализа ансамбля реализаций при известных статистических свойствах каждой отдельной реализации. Ниже описываются практические приемы анализа для каждой группы.

10.5.1. АНАЛИЗ ОТДЕЛЬНЫХ РЕАЛИЗАЦИЙ

Схема оценивания статистических характеристик отдельных реализаций представлена на рис. 10.12. Заметим, что многие из рекомендуемых этапов обработки могут быть при необходимости исключены; возможно также осуществление дополнительных операций. Отметим еще, что в приводимую здесь схему включены этапы определения основных свойств процессов, рассмотренные в разд. 10.4; это поможет лучше понять связь обеих стадий анализа данных. Обратимся теперь к рассмотрению блоков схемы, приведенной на рис. 10.12.

Определение среднего значения и среднего квадрата (блок А). Первый этап заключается в вычислении среднего значения и среднего квадрата (или дисперсии). Необходимость этих вычислений практически во всех случаях диктуется следующими важными соображениями. Во-первых, среднее значение и средний квадрат определяют некоторый средний уровень и дисперсию процесса; поэтому вычисление этих величин необходимо для решения даже самых простых прикладных задач. Во-вторых, вычисление средних значений и среднего квадрата по коротким интервалам времени позволяет проверить стационарность процесса (см. рис. 10.12 и разд. 10.4.1). Вычисление среднего значения и среднего квадрата рассмотрено в разд. 11.1, а статистическая точность соответствующих оценок — в разд. 8.2.

Оценивание ковариационной функции (блок Б). Ковариационная функция стационарного процесса представляет собой обратное преобразование Фурье его спектральной плотности и потому не содержит никакой дополнительной информации о процессе, помимо той, что дает его автоспектр. Однако оценку спектра легче вычислить и, как правило, проще интерпретировать, и потому оценивание ковариационных функций часто пропускают. Могут, однако, существовать ситуации, когда эта оценка представляет интерес. В таких случаях ее обычно вычисляют по оценке спектральной плотности, как описано в разд. 11.4.2. Статистическая точность оценивания ковариационных функций рассмотрена в разд. 8.4.

плотность, описывающая частотный состав процесса. Для линейных физических систем с постоянными параметрами спектр выходного процесса может быть найден как произведение спектра процесса на входе на квадрат амплитудной характеристики системы. Результаты измерения спектра дают информацию о динамических характеристиках системы. Общая площадь для кривой спектральной плотности как функция частоты равна среднему квадрату . В более общей формулировке среднее значение квадрата процесса в некотором рассматриваемом интервале частот определяется площадью под кривой спектра в пределах этого интервала. Очевидно, что данные измерений спектральной плотности представляют значительную ценность для большинства приложений анализа.

В гл. 6 и 7 было показано, насколько велико физическое значение функции спектральной плотности при анализе соотношений на входе и выходе линейной системы. Другие инженерные приложения этой характеристики рассмотрены в работе [10.8]. Способ вычисления оценки спектральной плотности описан в разд. 11.5, а ее статистическая точность — в разд. 8.5.

Оценивание плотности вероятности (блок Г). Последний основной этап рассматриваемой процедуры анализа заключается в определении плотности вероятности. При анализе процессов плотность вероятности часто не оценивают, так как принято считать, что все случайные явления подчиняются нормальному закону. Все же в некоторых случаях распределение процесса может существенно отличаться от гауссова. Это бывает прежде всего, когда рассматриваемый процесс представляет собой результат нелинейного преобразования некоторого другого процесса. Способ вычисления оценки плотности вероятности рассмотрен в разд. 11.3, а ее статистическая точность — в разд. 8.3.

Анализ реализаций нестационарных и переходных процессов (блок Д). Все рассмотренные до сих пор методы могут быть применены только для анализа реализаций стационарных процессов. Если в результате оценивания основных свойств процесса установлено, что рассматриваемая реализация принадлежит некоторому нестационарному процессу, то для ее анализа необходимо использовать специальные методы. Задача анализа нестационарных и переходных процессов рассмотрена в гл. 12. Заметим, что для анализа некоторых классов нестационарных процессов можно иногда использовать ту же аппаратуру или программное обеспечение, что и в стационарном случае. Однако интерпретация результатов такого анализа требует особой осторожности (см. разд. 12.5 и 12.6).

Анализ реализаций периодического или почти периодического процесса (блок Е). Если в результате оценивания основных свойств процесса установлено, что рассматриваемая реализация содержит периодические или почти периодические составляющие, то анализ несколько усложняется. В частности, для решения задачи можно воспользоваться одним из двух описанных ниже приемов. Во-первых, можно разделить случайную и периодическую

части путем фильтрации и рассматривать их раздельно. Во-вторых, можно совместно анализировать периодическую и случайную части процесса, учитывая присутствие периодических составляющих при интерпретации результатов. Например, если построен спектр процесса, содержащего гармонические колебания, то около максимумов спектральной плотности на соответствующих этим гармоникам частотах можно изобразить символ дельта-функции и указать значение среднего квадрата гармоники. Последняя опенка находится как произведение спектральной плотности на частоте соответствующего гармонического колебания на разрешение по частоте. Если этого не сделать, то можно, как уже отмечалось в разд. 10.4.2, дать неверную физическую интерпретацию таким максимумам спектральной плотности.

Специальные методы анализа (блок Ж). В зависимости от конкретных целей исследования возможно применение различных специальных приемов анализа отдельных реализаций. Например, как показано в работе [10.9], при исследовании усталости различных механических конструкций приходится строить оценки плотности распределения вероятности экстремальных значений нагрузки. Некоторые вопросы теории связи, касающиеся проблемы шумов, требуют исследования пересечений нулевого или некоторого другого произвольного уровня (см. разд. 5.4.3 и работу [10.7]). Для решения некоторых специальных задач может потребоваться преобразование Гильберта, описанное в гл. 13. Необходимость проведения специальных видов анализа, указанных в блоке , устанавливается при решении конкретных инженерных задач.