4.7.2. КРИТЕРИЙ ИНВЕРСИЙ

Рассмотрим последовательность из наблюдений случайной величины х, обозначенныхх, Подсчитаем теперь, сколько раз в последовательности имеют место неравенства при Каждое такое неравенство называется инверсией. Обозначим через А общее число инверсий.

Формально А вычисляется следующим образом. Определим для множества наблюдений величины

Тогда

Например,

Для уяснения понятия инверсии рассмотрим такую последовательность из 8 наблюдений:

В этой последовательностих, т. е. число инверсий для х. Возьмем теперь и сравним его с последующими наблюдениями (т. е. ). Обнаруживаем, что только так что число инверсий для равно Продолжив эту процедуру, найдем что Следовательно, общее число инверсий равно

Если последовательность из наблюдений состоит из независимых исходов одной и той же случайной величины, то число инверсий является случайной величиной А с средним значением и дисперсией

Небольшая табл. содержит -процентные точки функции распределения А.

Критерий инверсий применяется примерно так же, как и критерий серий. Вообще говоря, этот критерий более мощный по сравнению с критерием серий при обнаружении монотонного тренда в последовательности наблюдений. Однако этот критерий не столь эффективен при выявлении тренда типа флуктуаций.

ПРИМЕР 4.5. ПРИМЕНЕНИЕ КРИТЕРИЯ ИНВЕРСИЙ. Проверим наличие тренда в последовательности из наблюдений из примера 4.4 при уровне значимости Подсчитаем число инверсий в последовательности

Общее число инверсий

Пусть гипотеза заключается в том, что наблюдения представляют собой независимые исходы случайной величины х, т. е. тренда нет. Область принятия этой гипотезы имеет вид

Из табл. А.7 при находим Следовательно, гипотеза должна быть отвергнута с уровнем значимости 5%, так как не попадает в интервал, заключенный между 64 и 125. Напомним, что гипотеза о независимости этой же последовательности была принята при использовании критерия серий в примере 4.4. Этот факт иллюстрирует различную чувствительность этих двух методов проверки.