11.5.4. НАПЛЫВАЮЩИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Одна из основных проблем спектрального анализа связана с расчетом значений спектральной плотности на высоких частотах при высоком разрешении, т. е. в случаях, когда отношение очень велико. Понятно, что если объем данных, приходящийся на один отрезок реализации, подвергающийся преобразованию Фурье, может быть выбран произвольно большим, то и разрешающую способность оценки по частоте можно сделать достаточно высокой, так как

Однако в действительности число отсчетов по которым выполняется преобразование Фурье, ограничено (даже при использовании ЭВМ с виртуальной памятью), и число операций, необходимое для вычисления преобразования Фурье по алгоритму Кули — Тьюки, растет пропорционально где Поэтому целесообразно пользоваться методами вычислений, допускающими получение оценки автоспектра с частотой Найквиста и разрешением по частоте по числу точек, меньшему, чем следует из условия (11.122). Такие приемы называют обычно наплывающим преобразованием.

Существует несколько вариантов наплывающего преобразования, но чаще всего исходная реализация подразделяется на ряд последовательностей, каждой из которых отвечает определенная полоса частот, а затем нижняя граница полосы частот каждой последовательности смещается в нуль с помощью метода комплексной демодуляции. Пусть исходная реализация пропускается через полосовой фильтр и процессор на выходе фильтра есть

Умножив на экспоненту, получим модулированный сигнал

где - частота модуляции. Его преобразование Фурье имеет вид

так что автоспектр функции есть

Из равенств (11.126) следует, что если частота модуляции то автоспектр исходной последовательности с ограниченной полосой частот передвинется, как показано на рис. 11.13, от исходного диапазона в диапазоне . Теперь минимальную скорость дискретизации можно принять равной отсчетов в секунду, не опасаясь маскировки частот; эта величина всегда меньше минимальной скорости дискретизации необходимой при отсутствии модуляции. Поэтому при том же объеме выборки можно получить гораздо более высокое разрешение по частоте:

При этом, разумеется, весь расчет приходится вести для каждого наплывающего преобразования на всех заданных частотах.

На практике операции полосовой фильтрации и демодуляции, необходимые при наплывающем преобразовании, выполняются иногда с помощью аналоговой аппаратуры до перевода данных в дискретную форму. Это позволяет использовать аналого-цифровые преобразователи (АЦП) с небольшим быстродействием для анализа данных, диапазон частот которых расположен существенно выше максимальной частоты съема АЦП. Использование современных высокоскоростных АЦП (см. разд. 10.3.4) позволяет, как правило, осуществлять дискретизацию с шагом по времени, необходимым для анализа непосредственно исходной реализации а наплывающее преобразование выполнять затем в цифровой форме. В этом случае исходная реализация вначале пропускается через полосовой фильтр (см. разд. 11.1.3), на выходе которого получается функция принадлежащая диапазону частот Затем последовательность модулируется:

Теперь можно произвести прореживание функции уменьшив таким образом число ее значений в раз, где

Эта операция дает последовательность Заметим, что теперь длина реализации, необходимая для получения отдельного

Рис. 11.13. Сдвиг частот при комплексной демодуляции.

отрезка, есть секунд. Прореженная реализация подвергается преобразованию Фурье:

Эти операции повторяются для каждой из независимых реализаций последовательности и оценка автоспектра вычисляется по формуле (11.102). Результирующий спектр имеет разрешение по частоте и определен в диапазоне частот и индекс к меняется от до .

ПРИМЕР 11.4. ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ ДЛЯ НАПЛЫВАЮЩЕГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. Пусть спектр стационарной последовательности. (I) нужно оценить с нормированной случайной ошибкой при разрешающей способности Гц в полосе частот от 0 до Расчет ведется при фиксированной длине отрезков отсчета. Требуется определить объем выборки, необходимой для получения такой оценки.

Из формулы (11.102) следует, что для получения разрешающей способности Гц при нужен интервал дискретности

что отвечает частоте Найквиста Следовательно, для анализа в диапазоне частот от 0 до 5120 Гц исходную реализацию нужно подвергнуть наплывающему преобразованию для 10 смежных частотных интервалов шириной Гц каждый. Согласно формуле (8.154), для получения оценки с ошибкой потребуется усреднений для каждого диапазона частот. Поэтому общая продолжительность записи, необходимая для анализа в каждом диапазоне, равна

Если исходная реализация хранится в памяти ЭВМ, то для анализа во всех 10 диапазонах достаточно длины записи 100 с. Если же анализ осуществляется в реальном времени, то общая длина записи, нужная для анализа по каждому из 10 диапазонов, составит 1000 с.